Giải thích các bước giải:

Để $(9n-1)(n+6)$ là số chính phương

$\to (9n-1)(n+6)=m^2, m\in Z$

$\to 9n^2+53n-6=m^2$

$\to 9(n+\dfrac{53}{18})^2-\dfrac{3025}{36}=m^2$

$\to  324(n+\dfrac{53}{18})^2-3025=36m^2$

$\to  (18n+53)^2-3025=36m^2$

$\to  (18n+53)^2-36m^2=3025$

$\to  (18n+53-6m)(18n+53+6m)=3025$

$\to (18n+53-6m, 18n+53+6m)$ là cặp ước của $3025$

Lại có: $18n+53-6m+18n+53+6m= 36n+106$ chẵn

$\to  (18n+53-6m, 18n+53+6m)\in\{(-3025, -1), (-605, -5), (-275, -11), (-121, -25), (-55, -55), (-25, -121), (-11, -275), (-5, -605), (-1, -3025), (1, 3025), (5, 605), (11, 275), (25, 121), (55, 55), (121, 25), (275, 11), (605, 5), (3025, 1)\}$ 

$\to 36n+106\in\{-3026, -610, -286, -146, -110, -146, -286, -610, -3026, 3026, 610, 286, 146, 110, 146, 286, 610, 3026\}$

$\to 36n\in\{-3132, -252, -216, -252, -3132, 504, 180, 180, 504\}$

$\to n\in\{-87, -7, -6, -7, -87, 14, 5, 5, 14\}$

$\to n\in\{5, -87, 14, -7, -6\}$