Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta BHC, \Delta BAK$ có:

$\hat C=180^o-\hat A=\widehat{KAB}$

$BC=BA$

$\hat H=\hat K(=90^o)$

$\to \Delta BCH=\Delta BAK$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to BH=BK$

Lại có: $BK\perp DA, BH\perp DC$

$\to DB$ là phân giác $\widehat{ADC}$

b.Vì $DB$ là phân giác $\widehat{ADC}$

$\to \widehat{CDB}=\widehat{CDA}$

Vì $AD=AB\to \Delta ABD$ cân tại $A$

$\to \widehat{ABD}=\widehat{ADB}=\widehat{BDC}$

$\to AB//CD$

$\to \hat D=180^o-\hat A=\hat C$

$\to ABCD$ là hình thang cân

c.Ta có:

$\widehat{ADC}=\widehat{BCD}=60^o$

Đặt $AB=BC=AD=a$

Ta có:

$\sin C=\dfrac{BH}{BC}\to BH=BC\sin C=\dfrac{a\sqrt3}2$

$CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\dfrac12a$

Kẻ $AE\perp CD$

$\to AE\perp AB$ vì $AB//CD$

$\to ABHE$ là hình chữ nhật

$\to AE=BH=\dfrac{a\sqrt3}2$

     $DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\dfrac12a$

     $EH=AB=a$

$\to DC=DE+EH+HC=2a$

$\to \dfrac{S_{ABD}}{S_{ABCD}}=\dfrac{\dfrac12 BH\cdot DC}{\dfrac12BH\cdot (DC+AB)}$

$\to \dfrac{S_{ABD}}{S_{ABCD}}=\dfrac{DC}{DC+AB}$

$\to \dfrac{S_{ABD}}{S_{ABCD}}=\dfrac{a}{a+2a}$

$\to \dfrac{S_{ABD}}{S_{ABCD}}=\dfrac{a}{3a}$

$\to \dfrac{S_{ABD}}{S_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}$