Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 , AC = 4 cm, đường cao AH, trung tuyển Al

a) Tính các tỉ số lượng giác của ABC.

b) Qua A kẻ đường thẳng zy vuông góc với AI. Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt xỵ tại điểm M, đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt zy tại điểm N.

Chứng minh: MB. NC = (B * C ^ 2)/4 .

c) Gọi K là trung điểm của AH. Chứng minh B, K, N thẳng hàng.

Giải thích các bước giải:

a.Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to BC^2=AB^2+AC^2$

$\to BC^2=25$

$\to BC=5$

Ta có:

$\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac45$

$\cos B=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac35$

$\tan B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac43$

$\cot B=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac34$

b.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A, I$ là trung điểm $BC$

$\to IA=IB=IC=\dfrac12BC$

Xét $\Delta MBI,\Delta MAI$ có:

Chung $MI$

$\widehat{MBI}=\widehat{MAI}(=90^o)$

$IB=IA$

$\to \Delta IBM=\Delta IAM$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

$\to MB=MA, \widehat{MIB}=\widehat{MIA}$

$\to MA=MB, IM$ là phân giác $\widehat{AIB}$

Tương tự: $NA=NC, IN$ là phân giác $\widehat{AIC}$

Mà $\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=1806o$

$\to IM\perp IN$

$\to \Delta IMN$ vuông tại $I, IA\perp MN$

$\to AM.AN=AI^2$

$\to BM.NC=(\dfrac12BC)^2$

$\to BM.NC=\dfrac{BC^2}4$

c.Gọi $AB\cap CN=E$

Ta có: $NA=NC, IA=IC$

$\to N,I\in$ trung trực $AC$

$\to NI$ là trung trực $AC$

$\to IN\perp AB$

Mà $AB\perp AC$

$\to IN//AB$

$\to IN//BE$

Lại có: $I$ là trung điểm $BC$

$\to N$ là trung điểm $CE$

$\to NE=NC=\dfrac12CE$

Ta có: $AH//CE$

$\to \dfrac{BH}{BC}=\dfrac{AH}{CE}=\dfrac{2HK}{2CN}=\dfrac{HK}{CN}$

Lại có: $\hat H=\hat C(=90^o)$

$\to \Delta BHK\sim\Delta BCN(c.g.c)$

$\to \widehat{KBH}=\widehat{NBC}$

$\to B,K, N$ thẳng hàng