Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:

`ab <= ((a+b)/2)^2 = (2/2)^2 = 1`

Ta cần chứng minh một bất đẳng thức phụ:

`sqrt(a^2+1) + sqrt(b^2+1) <= 2sqrt(2)`

`(a^2+1) + (b^2+1) + 2sqrt((a^2+1)(b^2+1)) <= 8`

`a^2+b^2 + 2sqrt(a^2b^2 + a^2+b^2 + 1) <= 6`

`4 - 2ab + 2sqrt(a^2b^2 + 4 - 2ab + 1) <= 6`

`2sqrt(a^2b^2 - 2ab + 5) <= 2 + 2ab`

`sqrt((ab-1)^2 + 4) <= 1 + ab`

`(ab-1)^2 + 4 <= (1+ab)^2`

`a^2b^2 - 2ab + 1 + 4 <= 1 + 2ab + a^2b^2`

`5 - 2ab <= 1 + 2ab`

`1 <= ab`

Bất đẳng thức chỉ đúng khi `ab = 1`

`=> sqrt(a^2+1) + sqrt(b^2+1) <= 2sqrt(2)` 

Áp dụng bất đẳng thức `1/x + 1/y >= 4/(x+y)` ta có:

`1/sqrt(a^2+1) + 1/sqrt(b^2+1) >= 4/(sqrt(a^2+1) + sqrt(b^2+1))`

`4/(sqrt(a^2+1) + sqrt(b^2+1)) >= 4/(2sqrt(2)) = sqrt(2)`

`1/sqrt(a^2+1) + 1/sqrt(b^2+1) >= sqrt(2)`

Dấu `"''=''"`  xảy ra khi `a=b=1`