giải chi tiết phần 3

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Câu $\textbf{1}:$

$y = \dfrac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} (\textbf{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\})$ 

$\phantom{y}= \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} + \dfrac{1}{x + 1}$

$\phantom{y} = x + 1 + \dfrac{1}{x + 1}$

$y' = 1 - \dfrac{1}{(x + 1)^2}$

$y' = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{(x + 1)^2} = 1$

$\Leftrightarrow (x + 1)^2 = 1$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-2\\x=0\end{array} \right.$

Bảng biến thiên: ảnh $1$

$\Rightarrow y$ nghịch biến trên $(0; 1)$ và $(1; 2)$

$\Rightarrow (a; b; c) =(0; 1; 2)$

$\Rightarrow T = a + b + c = 3$

$\\$

$\\$

Câu $\textbf{2}:$

$y = x^4 - 2ax^2 + b$

$y' = 4x^3 - 4ax$

$\phantom{y'} = 4x(x^2 - a)$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = -\sqrt{a}\\x=0\\x=\sqrt{a}\end{array} \right.$

Vì $y$ đạt cực trị tại $x = 1 \ne 0$ nên $a = x^2 = 1$

$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = -1\\x=0\\x=1\end{array} \right.$

$\Rightarrow y = x^4 - 2x^2 + b$

Mà đồ thị hàm số $y$ có điểm cực trị là $(1; 2)$

$\Rightarrow 1 - 2 + b = 2$

$\Rightarrow b = 3$

$\Rightarrow y = x^4 - 2x^2 + 3$

$\Rightarrow$ Điểm cực trị còn lại của $y$ là $(-1; 2)$

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y$ có $2$ điểm cực tiểu là $(1; 2)$ và $(-1; 2)$ và $1$ điểm cực đại là $(0; 3)$

Nhận thấy trên hệ trục toạ độ $Oxy$ thì $2$ điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua trục $Oy$

$\Rightarrow$ Trục $Ox$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Mà điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(0; 3)$, nằm trên trục $Ox$

$\Rightarrow$ Khoảng cách giữa điểm cực đại với $2$ điểm cực tiểu của hàm số là bằng nhau và bằng $\sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{2} \approx 1,41$

Trả lời: $\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{1}&\text{$,$}&\text{4}&\text{1}\\\hline\end{array}$

$\\$

$\\$

Câu $\textbf{3}:$

$y = \dfrac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + 1}$

$\phantom{y} = 1 + \dfrac{2x - 4}{x^2 + 1}$

$y' = \dfrac{(2x - 4)'(x^2 + 1) - (2x - 4)(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2}$

$\phantom{y'} = \dfrac{2(x^2 + 1) - 2x(2x - 4)}{(x^2 + 1)^2}$

$\phantom{y'} = \dfrac{-2x^2 + 8x + 2}{(x^2 + 1)^2}$

$y' = 0 \Leftrightarrow -2x^2 + 8x + 2 = 0$

$\Leftrightarrow x^2 - 4x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2 + \sqrt{5}\\x=2-\sqrt{5}\end{array} \right.$

Bảng biến thiên: ảnh $2$

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y$ có điểm cực tiểu là $\left(2 - \sqrt{5}; -\sqrt{5} - 1\right)$ và điểm cực đại là $\left(2 + \sqrt{5}; \sqrt{5} - 1\right)$

Gọi $A, B$ lần lượt là điểm cực tiểu và điểm cực đại của đồ thị hàm số $y$

$\Rightarrow A\left(2 - \sqrt{5}; -\sqrt{5} - 1\right), B\left(2 + \sqrt{5}; \sqrt{5} - 1\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = \left(2\sqrt{5}; 2\sqrt{5}\right)$

$\phantom{\Rightarrow} \overrightarrow{AI} = \left(-2; 1\right)$

$\phantom{\Rightarrow} \overrightarrow{BI} = \left(-2 - 2\sqrt{5}; 1 - 2\sqrt{5}\right)$

$\Rightarrow AB = 2\sqrt{10}$

$\phantom{\Rightarrow} AI = \sqrt{5}$

$\phantom{\Rightarrow} BI = \sqrt{45 + 4\sqrt{5}}$

$\Rightarrow p = \dfrac{AB + AI + BI}{2} = \dfrac{2\sqrt{10}+ \sqrt{5} + \sqrt{45 + 4\sqrt{5}}}{2} = \sqrt{10} + \dfrac{\sqrt{5}}{2} + \sqrt{\dfrac{45}{4} + \sqrt{5}}$

$\Rightarrow S_{\triangle ABI} = \sqrt{p(p - AB)(p - AI)(p - BI)}

$\phantom{\Rightarrow} = \sqrt{\left(\sqrt{10} + \dfrac{\sqrt{5}}{2} + \sqrt{\dfrac{45}{4} + \sqrt{5}}\right)\left(-\sqrt{10} + \dfrac{\sqrt{5}}{2} + \sqrt{\dfrac{45}{4} + \sqrt{5}}\right)\left(\sqrt{10} - \dfrac{\sqrt{5}}{2} + \sqrt{\dfrac{45}{4} + \sqrt{5}}\right)\left(\sqrt{10} + \dfrac{\sqrt{5}}{2} - \sqrt{\dfrac{45}{4} + \sqrt{5}}\right)}$

$\phantom{\Rightarrow} = \sqrt{\left(\dfrac{5}{2} + \sqrt{5} + \sqrt{\dfrac{225}{4} + 5\sqrt{5}}\right)\left(-\dfrac{5}{2} - \sqrt{5} + \sqrt{\dfrac{225}{4} + 5\sqrt{5}}\right)}$

$\phantom{\Rightarrow} = \sqrt{\dfrac{225}{4} + 5\sqrt{5} - \left(\dfrac{45}{4} + 5\sqrt{5}\right)}$

$\phantom{\Rightarrow} = 3\sqrt{5} \approx 6,71$

$\\$

$\\$

Câu $\textbf{4}:$

$f(x) = \textbf{TR} - \textbf{TC} (x \in \mathbb{N})$

$\phantom{f(x)} = -2x^2 + 1312x - (x^3 - 77x^2 + 1000x +40000)$

$\phantom{f(x)} = -2x^2 + 1312x - x^3 + 77x^2 - 1000x - 40000$

$\phantom{f(x)} = -x^3 + 75x^2 + 312x - 40000$

$f'(x) = -3x^2 + 150x + 312$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow -3x^2 + 150x + 312 = 0$

$\Leftrightarrow x^2 - 50x - 104 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-2(\text{ktmđk})\\x=52(\text{tmđk})\end{array} \right.$

Bảng biến thiên: ảnh $3$

$\Rightarrow$ Xí nghiệp $A$ cần sản xuất $52$ sản phẩm để đạt lợi nhuận cực đại

$\\$

$\\$

Câu $\textbf{5}:$

$y = \log_3 (x^2 - 2x) (\textbf{D} = (-\infty; 0) \cup (2; +\infty))$

$y' = (x^2 - 2x)' \dfrac{1}{(x^2 - 2x)\ln 3}$

$\phantom{y'} =\dfrac{2x - 2}{(x^2 - 2x) \ln 3} (\textbf{D} = \mathbb{R} \setminus \{0; 2\})$

$y' =0 \Leftrightarrow 2x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow x = 1 (\text{ktmđk})$

Bảng biến thiên: ảnh $4$

$\Rightarrow y$ nghịch biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$

$\Rightarrow a = 0$

$\\$

$\\$

Câu $\textbf{6}$ không rõ đề

$\text{_____________________________________}$

Trả lời:

Câu 1: $\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{$3$}&\text{$\phantom{0}$}&\text{$\phantom{0}$}&\text{$\phantom{0}$}\\\hline\end{array}$

Câu 2: $\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{1}&\text{$,$}&\text{4}&\text{1}\\\hline\end{array}$

Câu 3: $\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{6}&\text{$,$}&\text{7}&\text{1}\\\hline\end{array}$

Câu 4: $\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{5}&\text{2}&\text{$\phantom{0}$}&\text{$\phantom{0}$}\\\hline\end{array}$

Câu 5: $\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{$0$}&\text{$\phantom{0}$}&\text{$\phantom{0}$}&\text{$\phantom{0}$}\\\hline\end{array}$