Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,góc giữa SC và (ABCD) là 45° ,SA vuông góc với đáy .Tính góc a)SD và (ABCD) b) SC và (SAD) c) SD và (SAC)

Đáp án+ Giải thích các bước giải:

Do $SA⊥(ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ 

$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABCD))}=\widehat{SCA}=45^o$

Xét $(SAC)$ có $ΔSAC$ vuông tại $A$ ( do $SA⊥(ABCD)$), $\widehat{SCA}=45^o$

$\Rightarrow ΔSAC$ vuông cân tại $A$

$\Rightarrow SA=AC$

Do $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{2}$

$\Rightarrow SA=a\sqrt{2}$

a) Do $SA⊥(ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ 

$\Rightarrow \widehat{(SD;(ABCD))}=\widehat{SDA}$

Xét $ΔSAD$ vuông tại $A$ có:

$\tan{\widehat{SDA}}=\dfrac{SA}{AD}=\dfrac{a\sqrt{2}}{a}=\sqrt{2}$

$\Rightarrow \widehat{SDA}= arctan(\sqrt{2})$

b) Do $ABCD$ là hình vuông nên $CD⊥AD$ 

Mặt khác $CD⊥SA$ và $AD∩SA=\{A\}$

$\Rightarrow CD⊥(SAD)$

$\Rightarrow D$ là hình chiếu của $C$ lên $(SAD)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(SAD))}=\widehat{CSD}$

Xét $ΔSAC$ vuông tại $A$ ta có:

$SC^2=SA^2+AC^2=(a\sqrt{2})+(a\sqrt{2})^2=4a^2$

$\Rightarrow SC= 2a$

Xét $ΔSAD$ vuông tại $A$ ta có:

$SD^2=SA^2+AD^2=(a\sqrt{2})+(a)^2=3a^2$

$\Rightarrow SD= a\sqrt{3}$

Xét $ΔSCD$ có

$\cos{\widehat{CSD}}=\dfrac{SD^2+SC^2-CD^2}{2.SD.SC}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{CSD}=\dfrac{\pi}{6}$

c)

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$

Do $ABCD$ là hình vuông nên $AC⊥BD$

Mà $SA⊥BD$ và $SA∩AC=\{ A\}$

$\Rightarrow BD⊥(SAC)$

$\Rightarrow O$ là hình chiếu của $D$ lên $(SAC)$

$\Rightarrow \widehat{(SD;(SAC))}=\widehat{OSD}$

Ta có: $BD$ là đường chéo của hình chéo của hình vuông $ABCD$ nên $BD=a\sqrt{2}$

$\Rightarrow OD=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $OA=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét $ΔSAO$ vuông tại $A$ có:

$SO^2=SA^2+OA^2=\dfrac{5}{2}$

$\Rightarrow SO=\sqrt{\dfrac{5}{2}} $

Xét $ΔSOD$ có

$\cos{\widehat{OSD}}=\dfrac{SD^2+SO^2-OD^2}{2.SD.SO}=\sqrt{\dfrac{5}{6}}$

$\Rightarrow \widehat{OSD}=arccos(\sqrt{\dfrac{5}{6}})$