Đáp án + Giải thích các bước giải:

Gọi các điểm như hình vẽ

$\Rightarrow \begin {cases} AH = 24 \\ BK = 3 \\ \widehat{APH} + \widehat{KPB} = 90^\circ \end {cases}$

Gọi $\widehat{APH} = x(^\circ) (0 < x < 90) \Rightarrow \widehat{KPB} = 90^\circ - x$

$\Rightarrow AP = \dfrac{AH}{\sin \widehat{APH}} = \dfrac{24}{\sin x}$

$\phantom{\Rightarrow} BP = \dfrac{BK}{\sin \widehat{KPB}} = \dfrac{3}{\sin (90^\circ - x)} = \dfrac{3}{\cos x}$

$\Rightarrow AB = AP + BP = \dfrac{24}{\sin x} + \dfrac{3}{\cos x}$

Xét $f(x) = \dfrac{24}{\sin x} +\dfrac{3}{\cos x}$

$f'(x) = \dfrac{24 \cos x}{\sin^2 x} - \dfrac{3 \sin x}{\cos^2 x}$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{24\cos x}{\sin^2 x} = \dfrac{3\sin x}{\cos^2 x}$

$\Leftrightarrow 24 \cos^3 x = 3\sin^3 x$

$\Leftrightarrow \sin^3 x = 8 \cos^3 x$

$\Leftrightarrow \sin x = 2\cos x$

$\Leftrightarrow \sin^2 x + \cos^2 x = 5 \cos^2 x = 1$

$\Leftrightarrow \cos^2 x = \dfrac{1}{5}$

Vì $0^\circ < x^\circ < 90^\circ \Rightarrow \begin {cases} \cos x = \dfrac{\sqrt{5}}{5} \\ \sin x = \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \end {cases}$

$\Rightarrow \min \limits_{\left(0; \frac{\pi}{2}\right)} f(x) = \dfrac{24}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} + \dfrac{3}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = 12\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 15\sqrt{5}$

Vậy chiều dài tối thiểu của cái sào là $15\sqrt{5}$