Cho tam giác nhọn ABC .Kẻ đường cao BE và CF cắt nhau tại H a, CM: AE.AC=AB.AF và tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b,Qua B kẻ đường thẳng // với CF cắt tia AH tại M,AH cắt BC tại D .Cm BD^2 =AD.DM

Giải thích các bước giải:

a, Xét ΔAFC và ΔAEB ta có:

\(\widehat{BAC}\) chung

\(\widehat{AFC}\)= \(\widehat{AEB}\)  ( hai góc vuông)

⇒ ΔAFC đồng dạng ΔAEB (g-g)

⇒ \(\frac{AE}{AB}\) = \(\frac{AF}{AC}\)  (1)

⇒ $AE . AC = AB . AF$ ( đccm)

(1) ⇒ \(\frac{AE}{AF}\) = \(\frac{AB}{AC}\) 

Xét ΔAEF và ΔABC ta có:

\(\frac{AE}{AF}\) = \(\frac{AB}{AC}\) 

\(\widehat{BAC}\) chung

⇒ ΔAEF đồng dạng ΔABC ( c-g-c)

b, Ta có: BH và CH là đường cao

⇒ AH cũng là đường cao của ΔABC

⇒ $AH ⊥ BC$

⇒ $AD ⊥ BC$

Lại có: $FC ⊥ AB$ 

mà $BM // FC$

⇒ $BM ⊥ AB$

Xét ΔABD và ΔBMD ta có:

\(\widehat{BDA}\) = \(\widehat{MDB}\) ( hai góc vuông)

\(\widehat{BAD}\) = \(\widehat{MBD}\) ( cùng phụ \(\widehat{ABC}\) )

⇒ ΔABD đồng dạng ΔBMD ( g-g)

⇒ \(\frac{AD}{BD}\) = \(\frac{BD}{DM}\) 

⇒ $AD . DM = BD²$ ( đccm)