Đáp án + Giải thích các bước giải:

Do hàm bậc hai có tiệm cận đứng $x = 5$ và cắt trục hoành tại $2$ điểm phân biệt có hoành độ $x = 2, x = 4$ nên đường cong tạo nên hồ nước có dạng: 

$y = \dfrac{m(x - 2)(x - 4)}{n(x - 5)}$

Vì đơn vị trên hệ trục là $100m$, quán café nằm cách gốc toạ độ $160m$ và nằm dưới trục hoành nên toạ độ của quán café là $(0; -1,6)$

$\Rightarrow \dfrac{m(0 - 2)(0 - 4)}{n(0 - 5)} = -1,6$

$\Leftrightarrow \dfrac{8m}{-5n} = -1,6$

$\Leftrightarrow m = n$

$\Rightarrow y = \dfrac{(x - 2)(x - 4)}{x - 5} = \dfrac{x^2 - 6x + 8}{x - 5}$

Ta có: Phương trình của hàng rào là $y = 2 - \dfrac{x}{3}$

$\Leftrightarrow 3y = 6 - x$

$\Leftrightarrow x + 3y - 6 = 0$

Suy ra khoảng cách từ một điểm có hoành độ $x_0$ trên đường cong tạo nên hồ nước đến hàng rào theo đơn vị trên hệ trục toạ độ là:

$d = \dfrac{\left|x_0 + 3\cdot \frac{x_0^2 - 6x_0 + 8}{x_0 - 5} - 6\right|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}}($đơn vị$)$

$\phantom{d} = \dfrac{\left|x_0 + \frac{3x_0^2 - 18x_0 + 24}{x_0 - 5} - 6\right|}{\sqrt{10}}$

$\phantom{d} = \dfrac{\left|\frac{x_0^2 - 5x_0 + 3x_0^2 - 18x_0 + 24 - 6x_0 + 30}{x_0 - 5}\right|}{\sqrt{10}}$

$\phantom{d} = \left|\dfrac{4x_0^2 - 29x_0 + 54}{\sqrt{10}(x_0 - 5)}\right|$

$\phantom{d} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \left|\dfrac{4x_0^2 -29x_0 + 54}{x_0 - 5}\right|$

$\phantom{d} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \left|\dfrac{4x_0^2 - 29x_0 + 45 + 9}{x_0 - 5}\right|$

$\phantom{d} = \dfrac{1}{\sqrt{10}}\left|4x_0 - 9 + \dfrac{9}{x_0 - 5}\right|$

Xét $f(x_0) = 4x_0 - 9 + \dfrac{9}{x_0 - 5} \Rightarrow d = \dfrac{1}{\sqrt{10}}\left|f(x_0)\right|$

$f'(x_0) = 4 - \dfrac{9}{(x_0 - 5)^2}$

$f'(x_0) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{9}{(x_0 -5)^2} - 4 = 0$

$\Leftrightarrow (x_0 - 5)^2 = \dfrac{9}{4}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x_0=  \dfrac{7}{2} \\ x_0 = \dfrac{13}{2} \end{array}\right.$

Ta có:

$d\left(\dfrac{7}{2}\right) =\dfrac{1}{\sqrt{10}}\left|14 - 9 + \dfrac{9}{\frac{-3}{2}}\right| = \dfrac{1}{\sqrt{10}} ($đơn vị$) \approx 31,6(m)$

$d\left(\dfrac{13}{2}\right) =\dfrac{1}{\sqrt{10}}\left|26 - 9 + \dfrac{9}{\frac{3}{2}}\right| = \dfrac{23}{\sqrt{10}} ($đơn vị$) \approx 727,3(m)$

$\Rightarrow$ Khoảng cách ngắn nhất từ bến kayak đến hàng rào là khoảng $31,6m$ khi đặt bến kayak trên điểm $\left(\dfrac{7}{2}; \dfrac{1}{2}\right)$

$\Rightarrow \textbf{D}$