Đáp án + Giải thích các bước giải:

Từ hệ trục toạ độ $Oxy$ và các dữ kiện được cho trong đề bài, ta có $M(-2;-3,2), N(2; -3,2)$

Mà $M, N$ nằm trên parabol $y = ax^2$

$\Rightarrow \begin {cases} a \cdot (-2)^2 =-3,2 \\ a \cdot 2^2 = -3,2 \end {cases}$

$\Rightarrow 4a = -3,2$

$\Leftrightarrow a = -0,8$

$\Rightarrow y= -0,8x^2$

Gọi $AB = 2x(cm) (0 < x < 2)$

$\Rightarrow A(x; -3,2), B(-x; -3,2)$

Mà $D, C$ lần lượt cùng hoành độ với $A, B$ và nằm trên cửa hầm lò

$\Rightarrow D(x; -0,8x^2), C(-x; -0,8x^2)$

$\Rightarrow AD = BC = 3,2 - 0,8x^2$

$\Rightarrow$ Chu vi $ABCD$ là:

$P = 2(AB + AD) = 2(2x + 3,2 -0,8x^2) = -1,6x^2 + 4x + 6,4$

Xét $f(x) = -1,6x^2 + 4x + 6,4$

$f(x) =  -0,1(16x^2 - 40x - 64)$

$\phantom{f(x)} = -0,1(16x^2 - 40x + 25 - 89)$

$\phantom{f(x)} = -0,1(4x - 5)^2 + 8,9$

Ta có: $-0,1(4x - 5)^2 \le 0, \forall x$

$\Rightarrow f(x) = -0,1(4x - 5)^2 + 8,9 \le 8,9, \forall x$

Dấu $=$ xảy ra khi $4x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1,25$

Vậy chu vi hình chữ nhật $ABCD$ có giá trị lớn nhất là $8,9m$ khi $AB = 2 \cdot 1,25 = 2,5(m)$