Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ:

`root(3)(x^3 + x + 6) >= (x+5)/3`  `(x > 0)`

Bất đẳng thức tương đương:

`x^3 + x + 6 >= ((x+5)/3)^3`

`=> 27(x^3 + x + 6) >= (x+5)^3`

`=> 27x^3 + 27x + 162 >= x^3 + 15x^2 + 75x + 125`

`=> 26x^3 - 15x^2 - 48x + 37 >= 0`

`=> (x-1)(26x^2 + 11x - 37) >= 0`

`=> (x-1)(x-1)(26x + 37) >= 0`

`=> (x-1)^2(26x + 37) >= 0`

Vì `x > 0` nên `26x + 37 > 0`

`=> (x-1)^2 >= 0 AA x`

`=>` Bất đẳng thức trên luôn đúng

Dấu "`=`" xảy ra khi `x=1`

Áp dụng bất đẳng thức phụ, ta có:

`P <= (bc)/((a+5)/3) + (ca)/((b+5)/3) + (ab)/((c+5)/3)`

`P <= 3 * ( (bc)/(a+5) + (ca)/(b+5) + (ab)/(c+5) )`

`=> 2[bc(b+5)(c+5) + ca(c+5)(a+5) + ab(a+5)(b+5)] <= (a+5)(b+5)(c+5)`

Đặt `q = ab+bc+ca` và `r = abc`

`=> 2q^2 + 75q - 43r - 200 <= 0`

Theo bất đẳng thức Schur ta có:

`sum a(a-b)(a-c) >= 0`

`=> a^3+b^3+c^3 + 3abc >= sum (a^2b+ab^2)`

`=> 9r >= 4pq - p^3 = 12q - 27`

`=> r >= (4q-9)/3`
`=> 2q^2 + 75q - 43*(4q-9)/3 - 200 <= 0`

`=> 6q^2 + 225q - 172q + 387 - 600 <= 0`

`=> 6q^2 + 53q - 213 <= 0`

`=> (q-3)(6q+71) <= 0`

`=> q = ab+bc+ca <= (a+b+c)^2/3 = 3^2/3 = 3`

Vì `a,b,c > 0` nên `q > 0`

Vì `0 < q <= 3` nên `q-3 <= 0` và `6q+71 > 0`

`=> (q-3)(6q+71) <= 0` (luôn đúng)

`=> (bc)/(a+5) + (ca)/(b+5) + (ab)/(c+5) <= 1/2` 

`=> P <= 3 * 1/2 = 3/2`

Dấu "`=`" xảy ra khi `a=b=c=1`

Vậy `P_{"max"} = 3/2` khi `a=b=c=1`