Đặt `n + 2 = a^3` và `n^2 - n - 3 = b^3` `(a, b in ZZ)`

Vì `n` là số nguyên dương

Nên `n >= 1 => n + 2 >= 3 => a >= 2`

Từ `n = a^3 - 2`, thay vào phương trình thứ hai:

`b^3 = (a^3 - 2)^2 - (a^3 - 2) - 3`

`b^3 = a^6 - 4a^3 + 4 - a^3 + 2 - 3`

`b^3 = a^6 - 5a^3 + 3`

Ta có:

`(a^2 - 2)^3 = a^6 - 6a^4 + 12a^2 - 8`

`(a^2 - 1)^3 = a^6 - 3a^4 + 3a^2 - 1`

`(a^2)^3 = a^6`

`=> b^3 - (a^2 - 2)^3 = 6a^4 - 5a^3 - 12a^2 + 11 > 0` `(n >=2)`

`=> (a^2)^3 - b^3 = 5a^3 - 3 > 0`

`=> (a^2 - 2)^3 < b^3 < (a^2)^3`

Vì `b^3` là một số lập phương

Nên `b^3` phải bằng `(a^2 - 1)^3`

`=> a^6 - 5a^3 + 3 = (a^2 - 1)^3 = a^6 - 3a^4 + 3a^2 - 1`

`=> 3a^4 - 5a^3 - 3a^2 + 4 = 0`

`=> (a - 2)(3a^3 + a^2 - a - 2) = 0`

Vì `a >= 2`, nên `3a^3 + a^2 - a - 2 > 0`

Phương trình có nghiệm duy nhất `a = 2`

`=> n = a^3 - 2 = 2^3 - 2 = 6`

Vậy `n = 6`