Giải thích các bước giải:

Vì $AD$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{ADM}=\widehat{MND}=\widehat{AND}$

$\to \Delta ADM\sim\Delta AND(g.g)$

$\to \dfrac{AD}{AN}=\dfrac{AM}{AD}$

$\to AD^2=AM.AN$

Ta có: $AD, AE$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO\perp DE$

Gọi $AO\perp DE=H$
$\to AH.AO=AD^2=AM.AN$

$\to \dfrac{AO}{AM}=\dfrac{AN}{AO}$

$\to\Delta AMH\sim\Delta AON(c.g.c)$

$\to \widehat{AHM}=\widehat{ANO}$

Ta có:

$ON^2=OD^2=OH.OA\to \dfrac{ON}{OH}=\dfrac{OA}{OD}$

$\to \Delta OHN\sim\Delta ONA(c.g.c)$

$\to \widehat{OHN}=\widehat{ONA}=\widehat{MHA}$

$\to 90^o-\widehat{OHN}=90^o-\widehat{MHA}$

$\to \widehat{DHN}=\widehat{MHD}$

$\to HD$ là phân giác $\widehat{MHN}$

$\to \widehat{MHD}=90^o-\widehat{MHA}=90^o-\widehat{ONM}=\dfrac12\widehat{MON}=\widehat{MQN}$

$\to \widehat{MHC}=\widehat{MQC}$

$\to MHQC$ nội tiếp

$\to \widehat{CMQ}=\widehat{CHQ}=90^o$

$\to MC\perp MQ$

Vì $KQ$ là đường kính của $(O), KQ\perp DE\to QD=QE$

$\to MQ$ là phân giác $\widehat{DME}$

$\to MC$ là phân giác ngoài tại $M$ của $\Delta MDE$

$\to \dfrac{CD}{CE}=\dfrac{MD}{ME}$

$\to MD.CE=ME.CD$