Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\textbf{a}\bigg)$

Xét $\triangle AMB$ vuông tại $A$ và $\triangle DME$ vuông tại $D$, ta có:

$\begin {cases} AM = DM (M\text{ là trung điểm của }AD) \\ \widehat{AMB} = \widehat{DME} (2\text{ góc đối đỉnh}) \end {cases}$

$\Rightarrow \triangle AMB = \triangle DME (\text{g - c - g})$

$\Rightarrow BM = EM (2$ cạnh tương ứng$)$

Xét $\triangle CME$ vuông tại $M$ và $\triangle CMB$ vuông tại $M$, ta có:

$\begin {cases} CM\text{ chung} \\ EM = BM (\text{cmt}) \end {cases}$

$\Rightarrow \triangle CME = \triangle CMB (\text{c - g - c})$

$\Rightarrow CE = CB (2$ cạnh tương ứng$)$

$\Rightarrow DE + CD = CB$

Mà $DE = AB (\triangle AMB = \triangle DME)$

$\Rightarrow BC = AB + CD$

$\textbf{b}\bigg)$

Gọi $I$ là giao điểm của $MC$ và $HD$

Xét $\triangle CMH$ vuông tại $H$ và $\triangle CMD$ vuông tại $M$, ta có:

$\begin {cases} CM\text{ chung} \\ \widehat{MCH} = \widehat{MCD} (\triangle CMB = \triangle CME) \end {cases}$

$\Rightarrow \triangle CMH = \triangle CMD (\text{ch - gn})$

$\Rightarrow \begin {cases} MH = MD (2\text{ cạnh tương ứng}) \\ CH = CD (2\text{ cạnh tương ứng}) \end {cases}$

$\Rightarrow MC$ là đường trung trực của $HD$

Mà $MC$ cắt $HD$ tại $I$

$\Rightarrow IH \bot MC$

Mà $MB \bot MC$

$\Rightarrow MB // IH$

Mà $I \in HD$

$\Rightarrow MB // HD$

$\Rightarrow MBHD$ là hình thang