$1$. Đường thẳng qua $M$ song song với $OK$ cắt $AC, SC$ tại $H,N$.

Đường thẳng qua $H$ song song với $BD$ cắt $AB,AD$ tại $P,Q$.

Đường thẳng qua $M$ song song với $BD$ cắt $SB,SD$ tại $E,F$.

Có $HN//OK\Rightarrow HN// (KBD)$ 

Mà $M\in HN, M\in (P)\Rightarrow HN\subset (P)$

$PQ//BD, BD\subset (KBD)\Rightarrow PQ//(KBD)$

Mà $H\in PQ, H\in (P)\Rightarrow PQ\subset (P)$.

$\left\{\begin{array}{l}PQ\in (P)\\PQ\in (ABCD)\end{array}\right.\Rightarrow (P)\cap (ABCD)=PQ$.

$EF//BD, BD\subset (KBD)\Rightarrow EF//(KBD)$.

Mà $M\in EF, M\in (P)\Rightarrow EF\subset (P)$.

$\left\{\begin{array}{l}E\in SB\\E\in (P)\end{array}\right.\Rightarrow E\in SB\cap (P)$

$\left\{\begin{array}{l}P\in AB\\P\in (P)\end{array}\right.\Rightarrow P\in AB\cap (P)$

$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}E\in SB\cap (P)\\P\in AB\cap (P)\\EP\subset (SAB)\end{array}\right.\Rightarrow (SAB)\cap (P)=PE$.

$\left\{\begin{array}{l}F\in SD\\F\in (P)\end{array}\right.\Rightarrow F\in SD\cap (P)$

$\left\{\begin{array}{l}Q\in AD\\Q\in (P)\end{array}\right.\Rightarrow Q\in AD\cap (P)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}F\in SD\cap (P)\\Q\in AD\cap (P)\\PQ\subset (SAD)\end{array}\right.\Rightarrow (SAD)\cap (P)=FQ$.

$\left\{\begin{array}{l}E\in SB\cap (P)\\N\in SC\cap (P)\\NE\subset (SBC)\end{array}\right.\Rightarrow (SBC)\cap (P)=NE$

$\left\{\begin{array}{l}F\in SD\cap (P)\\N\in SC\cap (P)\\NF\subset (SCD)\end{array}\right.\Rightarrow (SCD)\cap (P)=NF$

Tổng hợp ta có $(P)\cap \{(ABCD);(SAB);(SAD);(SBC);(SCD)\}=\{PQ;EP;FQ;NE;NF\}$

$\Rightarrow (P)\cap S.ABCD=NEPQF$.

$2$. Gọi $I$ là trung điểm của $SB$.

Khi đó $IK$ và $OH$ là đường trung bình của $\Delta SBC,\Delta ABC$

$\Rightarrow IK//OH//BC,IK=OH=\dfrac12BC$

$\Rightarrow OHIK$ là hình bình hành $\Rightarrow I\in (OHK)$.

Đường thẳng qua $M$ song song $OK$ cắt $AC,SC$ tại $D,Q$

Đường thẳng qua $D$ song song $OH$ cắt $AB$ tại $E$.

Đường thẳng qua $Q$ song song $IK$ cắt $SB$ tại $P$.

$DQ//OK, OK\subset (OHK)\Rightarrow DQ//(OHK)$

Mà $M\in DQ, M\in (P)\Rightarrow DQ\subset (P)$.

$\left\{\begin{array}{l}DQ\subset (P)\\DQ\subset (SAC)\end{array}\right.\Rightarrow (P)\cap (SAC)=DQ$

$PQ//IK, IK\subset (OHK)\Rightarrow PQ//(OHK)$

Mà $Q\in PQ, Q\in (P)\Rightarrow PQ\subset (P)$.

$\left\{\begin{array}{l}PQ\subset (P)\\PQ \subset (SBC)\end{array}\right.\Rightarrow (P)\cap (SBC)=PQ$

$DE//OH, OH\subset (OHK)\Rightarrow DE// (OHK)$

Mà $D\in DE, D\in  (P)\Rightarrow DE\subset (P)$.

$\left\{\begin{array}{l}DE\subset (P)\\ DE\subset (ABC)\end{array}\right.\Rightarrow (P)\cap (ABC)=DE$

$\left\{\begin{array}{l}P\in SB\cap (P)\\E\in AB\cap (P)\\EP\subset (SAB)\end{array}\right.\Rightarrow (P)\cap (SAB)=EP$

Tổng hợp ta có $(P)\cap \{(SAC);(SBC);(SAB);(ABC)\}=\{DQ;PQ;EP;DE\}$

$\Rightarrow (P)\cap S.ABC=DEPQ$.