Helppppppppppp meeeeee @@

Đáp án: $\dfrac{3\sqrt{129}}{43}$

Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Ta có: } \text{Lăng trụ đều } ABC.DEF, AB=6, AD=2. \\
& M, N, P \text{ là trung điểm } DE, DF, BC. \\
& \vec{SA} + 2\vec{SB} + \vec{SC} = \vec{0}. \text{ Tính } d(S, (MNP)). \\
\\
& \text{Chọn hệ trục } Oxyz \text{ với } P(0;0;0), \ Px \equiv PC, \ Py \equiv PA, \ Pz \parallel AD. \\
& \text{Tam giác } ABC \text{ đều cạnh } 6 \Rightarrow PA = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}. \\
& \Rightarrow P(0;0;0); \ C(3;0;0); \ B(-3;0;0); \ A(0; 3\sqrt{3}; 0) \\
& \Rightarrow D(0; 3\sqrt{3}; 2); \ E(-3; 0; 2); \ F(3; 0; 2) \\
\\
& M \text{ là trung điểm } DE \Rightarrow M\left(\dfrac{0-3}{2}; \dfrac{3\sqrt{3}+0}{2}; \dfrac{2+2}{2}\right) \Rightarrow M\left(-\dfrac{3}{2}; \dfrac{3\sqrt{3}}{2}; 2\right) \\
& N \text{ là trung điểm } DF \Rightarrow N\left(\dfrac{0+3}{2}; \dfrac{3\sqrt{3}+0}{2}; \dfrac{2+2}{2}\right) \Rightarrow N\left(\dfrac{3}{2}; \dfrac{3\sqrt{3}}{2}; 2\right) \\
\\
& \vec{SA} + 2\vec{SB} + \vec{SC} = \vec{0} \Rightarrow S \text{ là tâm tỉ cự của hệ điểm } (A,1), (B,2), (C,1) \\
& x_S = \dfrac{x_A + 2x_B + x_C}{1+2+1} = \dfrac{0 + 2(-3) + 3}{4} = -\dfrac{3}{4} \\
& y_S = \dfrac{y_A + 2y_B + y_C}{4} = \dfrac{3\sqrt{3} + 0 + 0}{4} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} \\
& z_S = \dfrac{z_A + 2z_B + z_C}{4} = \dfrac{0 + 0 + 0}{4} = 0 \\
& \Rightarrow S\left(-\dfrac{3}{4}; \dfrac{3\sqrt{3}}{4}; 0\right) \\
\\
& \vec{PM} = \left(-\dfrac{3}{2}; \dfrac{3\sqrt{3}}{2}; 2\right); \ \vec{PN} = \left(\dfrac{3}{2}; \dfrac{3\sqrt{3}}{2}; 2\right) \\
& [\vec{PM}, \vec{PN}] = \left( \begin{vmatrix} \dfrac{3\sqrt{3}}{2} & 2 \\ \dfrac{3\sqrt{3}}{2} & 2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 & -\dfrac{3}{2} \\ 2 & \dfrac{3}{2} \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -\dfrac{3}{2} & \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{3}{2} & \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \end{vmatrix} \right) \\
& = \left( 0; \ 6; \ -\dfrac{9\sqrt{3}}{2} \right) \\
& \text{Chọn VTPT của } (MNP) \text{ là } \vec{n} = (0; 4; -3\sqrt{3}) \\
& \text{Phương trình } (MNP) \text{ đi qua } P(0;0;0): \ 0x + 4y - 3\sqrt{3}z = 0 \Leftrightarrow 4y - 3\sqrt{3}z = 0 \\
\\
& d(S, (MNP)) = \dfrac{|4y_S - 3\sqrt{3}z_S|}{\sqrt{0^2 + 4^2 + (-3\sqrt{3})^2}} \\
& = \dfrac{\left| 4 \cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{4} - 0 \right|}{\sqrt{16 + 27}} \\
& = \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{43}} = \dfrac{3\sqrt{129}}{43}
\end{aligned}$