Gọi hai tiếp tuyến kẻ từ M đến đường tròn $\displaystyle (O; R')$ lần lượt là $\displaystyle d_1$ và $\displaystyle d_2$.
Theo đề bài, $\displaystyle d_1$ cắt $\displaystyle (O; R)$ tại A và B; $\displaystyle d_2$ cắt $\displaystyle (O; R)$ tại C và D.
Kẻ $\displaystyle OH \perp d_1$ tại H và $\displaystyle OK \perp d_2$ tại K.
Vì $\displaystyle d_1, d_2$ là các tiếp tuyến của $\displaystyle (O; R')$, theo tính chất tiếp tuyến ta có:
$\displaystyle OH = OK = R'$
Xét đường tròn $\displaystyle (O; R)$:
$\displaystyle AB$ và $\displaystyle CD$ là hai dây của đường tròn.
$\displaystyle OH$ là khoảng cách từ tâm $\displaystyle O$ đến dây $\displaystyle AB$.
$\displaystyle OK$ là khoảng cách từ tâm $\displaystyle O$ đến dây $\displaystyle CD$.
Vì $\displaystyle OH = OK$ (cmt), theo định lý liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm, ta có:
$\displaystyle AB = CD$
Vì hai dây $\displaystyle AB$ và $\displaystyle CD$ bằng nhau, theo định lý liên hệ giữa cung và dây
$\displaystyle \text{cung } AB = \text{cung } CD$ (đpcm)