`a)` `x^3 - x^2y + x = 2x^2 - 3y - 5`

`=> y(x^2 - 3) = x^3 - 2x^2 + x + 5`

`=> y = (x^3 - 2x^2 + x + 5) / (x^2 - 3) = x - 2 + (4x - 1) / (x^2 - 3)`

Để `y` là số nguyên thì `4x - 1 vdots x^2 - 3`

`=> |4x - 1| >= |x^2 - 3|` `(|x| < 4)`

Ta có bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{x} & \text{x}^2 - 3 & 4\text{x} - 1 & \text{y} = \text{x} - 2 + \frac{4\text{x}-1}{\text{x}^2-3} \\ \hline -3 & 6 & -13 & -5 - \frac{13}{6} \text{ (Loại)} \\ \hline -2 & 1 & -9 & -4 - 9 = -13 \text{ (Nhận)} \\ \hline -1 & -2 & -5 & -3 + \frac{5}{2} \text{ (Loại)} \\ \hline 0 & -3 & -1 & -2 + \frac{1}{3} \text{ (Loại)} \\ \hline 1 & -2 & 3 & -1 - \frac{3}{2} \text{ (Loại)} \\ \hline 2 & 1 & 7 & 0 + 7 = 7 \text{ (Nhận)} \\ \hline 3 & 6 & 11 & 1 + \frac{11}{6} \text{ (Loại)} \\ \hline \end{array}

Vậy ...

`b)` `2x^2 - xy - y^2 + 9x + 7 = 0`

`=> y^2 + xy - (2x^2 + 9x + 7) = 0`

Để phương trình có nghiệm nguyên `y` thì:

`Delta_y = x^2 - 4[ - (2x^2 + 9x + 7)]`

`Delta_y = 9x^2 + 36x + 28 = k^2` `(k in NN)`

`=> (3x + 6)^2 - k^2 = 8`

`=> (3x + 6 - k)(3x + 6 + k) = 8`

Vì `(3x + 6 + k) - (3x + 6 - k) = 2k` là số chẵn nên hai thừa số `3x + 6 - k` và `3x + 6 + k` có cùng tính chẵn lẻ

Tích của chúng bằng `8` nên cả hai đều là số chẵn

Ta có bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|} \hline 3\text{x}+6-\text{k} & 3\text{x}+6+\text{k} & \text{Kết quả} \\ \hline 2 & 4 & 6\text{x}+12=6 \Rightarrow \text{x}=-1; 2\text{k}=2 \Rightarrow \text{k}=1 \\ \hline -4 & -2 & 6\text{x}+12=-6 \Rightarrow \text{x}=-3; 2\text{k}=2 \Rightarrow \text{k}=1 \\ \hline \end{array}

Với `x = -1, k = 1` thì `y = (-x+-k)/2 = (1+-1)/2 => y=1` hoặc `y=0`

Với `x = -3, k = 1` thì `y = (-x+-k)/2 = (3+-1)/2 => y=2` hoặc `y=1`

Vậy ...

`c)` `x^2y^2 - 6x^2y + 2y^3 + 9x^2 - 9y^2 + 12 = 0`

`=> x^2(y^2 - 6y + 9) = -2y^3 + 9y^2 - 12`

`=> x^2(y - 3)^2 = -2y^3 + 9y^2 - 12`

Vì vế trái `x^2(y - 3)^2 >= 0` nên vế phải `-2y^3 + 9y^2 - 12 >= 0`

Ta có bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{y} & \text{VT} = \text{x}^2(\text{y}-3)^2 & \text{VP} = -2\text{y}^3+9\text{y}^2-12 & \text{Kết quả} \\ \hline 2 & \text{x}^2 & 8 & \text{x}^2=8 \text{ (Loại)} \\ \hline 3 & 0 & 15 & 0=15 \text{ (Vô lý)} \\ \hline 4 & \text{x}^2 & 4 & \text{x}^2=4 \Rightarrow \text{x}=\pm2 \text{ (Nhận)} \\ \hline \end{array}

Vậy ...