Trường THPT TPC tổ chức gian hàng hội chợ chào mừng ngày 26 tháng 3, lớp 12 Nga lên kế hoạch bán trà sữa và bánh flan, toàn bộ số tiền lãi thu được sẽ quyên góp để gây quỹ khuyến học cho các bạn khó khăn trong trường. Lớp có số tiền vốn là 990 nghìn đồng, biết một ly trà sữa kèm topping có giá vốn là 15 nghìn đồng, bán ra lãi 5 nghìn đồng; một cái bánh flan có giá vốn là 3 nghìn đồng, bán ra lãi 2 nghìn đồng. Để được giá sỉ thì lớp phải nhập từ 20 ly trà sữa và từ 40 cái bánh flan trở lên, theo khảo sát nhu cầu thì không thể bán vượt quá 60 cái bán flan. Lớp 12 Nga cần tính toán số lượng ly trà sữa và bánh flan để thu được lợi nhuận lớn nhất, khi đó lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu? (đơn vị tính: nghìn đồng).

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Gọi $x($ly$), y($cái$)$ lần lượt là số ly trà sữa và bánh flan mà lớp $12$ Nga bán $(x, y \in \mathbb{N})$

Từ đề bài, ta có:

$\begin {cases} x \ge 20 \\ y \ge 40 \\ y \le 60 \\ 15x + 3y \le 990 \end {cases}$

Đặt $\begin {cases} d_1: x = 20 \\ d_2: y = 40 \\ d_3: y = 60 \\ d_4: 15x + 3y = 990 \end {cases}$

Bảng giá trị:

$d_4: 15x + 3y = 990$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{$x$}&\text{$66$}&\text{$60$} \\\hline \text{$y$}&\text{$0$}&\text{$30$}\\\hline \end{array}$

Xét $O(0; 0)$, ta có:

$0 < 20$

$0 < 40$

$0 < 60$

$0 + 3 \cdot 0 < 990$

$\Rightarrow$ Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $ABCD$, kể cả các cạnh $AB, BC, CD$ và $AD$

$\Rightarrow\begin {cases} A(20; 40) \\ B (58; 40) \\ C(54; 60) \\ D(20; 60) \end {cases}$

Đặt $\textbf{P}(x, y) = 5x + 2y($nghìn đồng$)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ ly trà sữa và $y$ cái bánh flan

Ta có: 

$\textbf{P}(20, 40) = 180$

$\textbf{P}(58, 40) = 370$

$\textbf{P}(54, 60) = 390$

$\textbf{P}(20, 60) = 220$

$\Rightarrow$ Cần bán $54$ ly trà sữa và $60$ cái bánh flan để thu được lợi nhuận lớn nhất là $390$ nghìn đồng