Giải thích các bước giải:

Qua $N$ kẻ $EF//BC, E\in AB, F\in AC$

$\to \dfrac{NE}{MB}=\dfrac{AN}{AM}=\dfrac{NF}{MC}$

$\to EN=NF$ vì $M$ là trung điểm $BC\to ME=MF$

Kẻ $EG//HK, G\in AC$

$\to NK//EG$

Ta có: $N$ là trung điểm $EF$

$\to NK$ là đường trung bình $\Delta GEF$

$\to K$ là trung điểm $GF$

$\to KG=KF$

Ta có: $AI$ là phân giác $\hat A, IH\perp AB, IK\perp AC$

$\to IH=IK$

$\to AH=\sqrt{AI^2-IH^2}=\sqrt{AI^2-IK^2}=AK$

$\to \Delta AHK$ cân 

Ta có: $EG/HK$

$\to \widehat{AEG}=\widehat{AHK}=\widehat{AKH}=\widehat{AGE}$

$\to \Delta AEG$ cân tại $A$

$\to AG=AE$

$\to EH=AH-AE=AK-AG=GK=KF$

Xét $\Delta IHE,\Delta IKF$ có:

$IH=IK$

$\widehat{IHE}=\widehat{IKF}(=90^o)$

$HE=KF$

$\to \Delta IHE=\Delta IKF(c.g.c)$

$\to IE=IF$

$\to \Delta IEF$ cân tại $I$

Lại có: $N$ là trung điểm $EF$

$\to IN\perp EF$

Ta có: $EF//BC$

$\to IN\perp BC$