Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\textbf{1}\bigg)$

$\begin{array}{l} \textbf{A} &= x^2 - 2x + y^2 - 4y + 6
\\ &= x^2 - 2x +1 + y^2 - 4y + 4 + 1
\\ &= (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1\end{array}$ 

Ta có: $\begin {cases} (x - 1)^2 \ge 0 \text{ với mọi }x \\ (y - 2)^2 \ge 0 \text{ với mọi }y \end {cases}$

Suy ra $\textbf{A} = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1 \ge 1$ với mọi $x, y$

Dấu $=$ xảy ra khi $\begin {cases} x - 1 = 0 \\ y - 2 = 0 \end {cases}$

$\begin {cases} x = 1 \\y = 2 \end {cases}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\textbf{A}$ là $1$ khi $x = 1$ và $y = 2$

$\textbf{2}\bigg)$

$\begin{array}{l} \textbf{A} &= 7 + x^2 + y^2 - 2(x + y)
\\ &= x^2 - 2x + y^2 - 2y + 7
\\ &= x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 + 5
\\ &= (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + 5\end{array}$ 

Ta có: $\begin {cases} (x - 1)^2 \ge 0 \text{ với mọi }x \\ (y - 1)^2 \ge 0 \text{ với mọi }y \end {cases}$

Suy ra $\textbf{A} = (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + 5 \ge 5$ với mọi $x, y$

Dấu $=$ xảy ra khi $\begin {cases} x - 1 = 0 \\ y - 1 = 0 \end {cases}$

$\begin {cases} x = 1 \\y = 1 \end {cases}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\textbf{B}$ là $5$ khi $x = 1$ và $y = 1$

$\textbf{3}\bigg)$

$\begin{array}{l} \textbf{A} &= 2 + x^2 + y^2 + 2(x + y)
\\ &= x^2 + 2x + y^2 + 2y + 2
\\ &= x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1
\\ &= (x + 1)^2 + (y + 1)^2\end{array}$ 

Ta có: $\begin {cases} (x + 1)^2 \ge 0 \text{ với mọi }x \\ (y + 1)^2 \ge 0 \text{ với mọi }y \end {cases}$

Suy ra $\textbf{A} = (x + 1)^2 + (y + 1)^2 \ge 0$ với mọi $x, y$

Dấu $=$ xảy ra khi $\begin {cases} x + 1 = 0 \\ y + 1 = 0 \end {cases}$

$\begin {cases} x = -1 \\y = -1 \end {cases}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\textbf{C}$ là $0$ khi $x = -1$ và $y = -1$

$\textbf{4}\bigg)$

$\begin{array}{l} \textbf{A} &= x^2 - 4x + y^2 + 2y - 10
\\ &= x^2 - 4x +4 + y^2 + 2y + 1 - 15
\\ &= (x - 2)^2 + (y + 1)^2 - 15\end{array}$ 

Ta có: $\begin {cases} (x - 2)^2 \ge 0 \text{ với mọi }x \\ (y + 1)^2 \ge 0 \text{ với mọi }y \end {cases}$

Suy ra $\textbf{A} = (x - 2)^2 + (y + 1)^2 - 15 \ge -15$ với mọi $x, y$

Dấu $=$ xảy ra khi $\begin {cases} x - 2 = 0 \\ y + 1 = 0 \end {cases}$

$\begin {cases} x =2 \\y = -1 \end {cases}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\textbf{D}$ là $-15$ khi $x = 2$ và $y = -1$