Đáp án + Giải thích các bước giải: 

 ` \frac{a ^ {2} + b ^ {2}}{b ^ {2} + c ^ {2}}  = \frac{a}{c} `

` a ^ {2}  c + b ^ {2}  c = b ^ {2}  a + c ^ {2}  a `

` ( a - c ) ( ac - b ^ {2} ) = 0 `

mà ` a \ne c `

nên ` a c = b ^ {2} `
Ta có ` a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}`
` = a ^ {2} + c ^ {2} + a c `
` = a ^ {2} + 2 ac + c ^ {2} - b ^{2} `
` = ( a + c ) ^ {2}  - b ^ {2} `
` = ( a - b + c ) ( a + b + c ) `
Giả sử có tồn tại số nguyên tố `a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}`  
TH1 $\left \{ {{ a - b + c = 1} \atop { a + b + c = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} \right.$
        ⇒ ` 2a + 2c - 1 = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} `

        ⇒ ` ( a - 1 ) ^ {2} + ( c - 1 ) ^ {2} + b ^ {2} = 1 `
        ⇒ ` a = c = 1 ` và ` b =` ± 1 ( loại do ` a \ne c `)
Ta chứng minh tương tự với 3 TH còn lại

⇒ ` a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} ` không thể là số nguyên tố
⇒  đpcm