`VT = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a)`

`VT = a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2`

Ta có: `ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) = -(a - b)(b - c)(c - a)`

Mà `ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) = a + b + c`

Nên `-(a - b)(b - c)(c - a) = a + b + c`  `(1)`

Nếu `a, b, c` có số dư khác nhau khi chia cho `3`

Khi đó `a + b + c vdots 3`

`=> a - b, b - c, c - a cancel(vdots) 3`

`=> (a - b)(b - c)(c - a) cancel(vdots) 3 `

`=> a + b + c cancel(vdots) 3 ` (sai)

Nếu trong ba số `a, b, c` có hai số có cùng số dư khi chia cho `3`

Giả sử `a` và `b` có cùng số dư

`=> a -= b` (mod 3) `=> a - b vdots 3`

`=> (a - b)(b - c)(c - a) vdots 3`

Từ `(1)` suy ra `a + b + c vdots 3`

Ta có: `a + b + c -= a + a + c = 2a + c` `(mod 3)`

Vì `a + b + c vdots 3` nên `2a + c vdots 3`

`=> 2a + c -= 0` `(mod 3)`

`=> c -= -2a` `(mod 3)`

`=> c -= a` `(mod 3)`

`=> c` cũng có cùng số dư với `a` khi chia cho `3`

`=>` Cả ba số `a, b, c` phải có cùng số dư khi chia cho `3`

Khi đó:

`a - b vdots 3`

`b - c vdots 3`

`c - a vdots 3`

`=> (a - b)(b - c)(c - a) vdots (3 * 3 * 3)`

`=> (a - b)(b - c)(c - a) vdots 27`

Từ `(1)`, ta có `a + b + c = -(a - b)(b - c)(c - a)`

Vậy `a + b + c vdots 27` `("đpcm")`