Giải thích các bước giải:

1.Ta có: $BE\perp AC, CF\perp AB$

$\to \widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o$

$\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

2.Vì $AEHF$ nội tiếp

$\to \widehat{HAE}=\widehat{HFE}$

$\to \widehat{IAE}=\widehat{IFH}$

Mà $\widehat{AIE}=\widehat{FIH}$

$\to \Delta IAE\sim\Delta IFH(g.g)$

$\to \dfrac{IA}{IF}=\dfrac{EI}{IH}$

$\to IA.IH=IE.IF$

3.Ta có: $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$

$\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

Mà $M$ là trung điểm $BC$

$\to E, F\in (M)$

Gọi $AM\cap HK=G$

Ta có:

$\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{AGH}=90^o$

$\to A, E, H, F, G\in$ đường tròn đường kính $AH$

Ta có:

$\widehat{HGM}=\widehat{HDM}(=90^o)$

$\to H,G, M, D\in$ đường tròn đường kính $H$

Vì $\widehat{AGH}=\widehat{ADM}(=90^o)$

$\to \Delta AGH\sim\Delta ADM(g.g)$

$\to \dfrac{AG}{AD}=\dfrac{AH}{AM}$

$\to AH.AD=AG.AM$

Tương tự: $AH.AD=AE.AC$

$\to AE.AC=AG.AM$

$\to \dfrac{AE}{AG}=\dfrac{AM}{AC}$

$\to \Delta AEG\sim\Delta AMC(c.g.c)$

$\to \widehat{AGE}=\widehat{ACM}=\widehat{ECM}$

$\to MCEG$ nội tiếp

$\to \widehat{MGC}=\widehat{MEC}=\widehat{MCE}=\widehat{MCA}$

$\to \Delta MGC\sim\Delta MCA(g.g)$

$\to \dfrac{MG}{MC}=\dfrac{MC}{MA}$

$\to MC^2=MG.MA$

Mà $MC=MK$

$\to MK^2=MG.MA$

$\to \dfrac{MK}{MG}=\dfrac{MA}{MK}$

$\to \Delta MGK\sim\Delta MKA(c.g.c)$

$\to \widehat{MKA}=\widehat{MGK}=90^o$

$\to AK\perp KM$

$\to AK$ là tiếp tuyến của $(M)$