Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l} \textbf{M} &= 9x^2 + 6y^2 + 18x - 12xy - 12y - 27
\\ &= 9x^2 + 4y^2 + 2y^2 +18x - 12xy - 12y - 27
\\ &= 9x^2 -12xy + 4y^2 + 18x - 12y + 2y^2 - 27
\\ &= (3x - 2y)^2 + 6(3x - 2y) + 9 + 2y^2 - 36
\\ &= (3x - 2y + 3)^2 + 2y^2 - 36\end{array}$

Ta có: $(3x - 2y + 3)^2 \ge 0$ với mọi $x, y$ và $2y^2 \ge 0$ với mọi $y$

Suy ra $\textbf{M} = (3x - 2y + 3)^2 + 2y^2 - 36 \ge -36$ với mọi $x, y$

Dấu $=$ xảy ra khi $\begin {cases} 3x - 2y + 3 = 0 \\ y = 0 \end {cases}$

$\begin {cases} 3x + 3 = 0 \\ y = 0 \end {cases}$

$\begin {cases} x = -1 \\y = 0 \end {cases}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\textbf{M}$ là $-36$ khi $x = -1$ và $y = 0$