Giải thích các bước giải:

Diện tích hình thang có công thức tính là $\dfrac{1}{2}$ $\times$ ( đáy lớn + đáy bé ) $\times$ chiều cao
a,  Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với CD tại E ( E $\in$ CD )

Ta có diện tích hình thang ABCD bằng 60 $cm^2$ (gt)

 =>  $\dfrac{1}{2}$ $\times$ (AB + CD) $\times$ AE = 60

mà CD = 3AB (gt)

=> $\dfrac{1}{2}$ $\times$ (AB + 3AB) $\times$ AE = 60

=> $\dfrac{1}{2}$ $\times$ 4AB $\times$ AE = 60 

=> 2AB $\times$ AE = 60

=> AB $\times$ AE = 30
=> $\dfrac{CD}{3}$ $\times$ AE = 30

=> CD $\times$ AE = 90
S $\triangle$ ACD = $\dfrac{1}{2}$ $\times$ CD $\times$ AE = 90 $\times$ $\dfrac{1}{2}$ = 45cm

b, Có S $\triangle$ ACD = S $\triangle$ ADI + S $\triangle$ CID

Xét $\triangle$ AIB và $\triangle$ CID có :

$\widehat{AID}$ = $\widehat{CID}$ ( hai góc đối đỉnh )

$\widehat{ACD}$ = $\widehat{CAB}$ ( hai góc so le trong ) 
Suy ra $\widehat{AIB}$ $\backsim$ $\widehat{CID}$ ( g . g )
Suy ra $\dfrac{AI}{IC}$ = $\dfrac{AB}{CD}$ = $\dfrac{1}{3}$
Lại có $\triangle$ AID và $\triangle$ CID có chung chiều cao hạ từ D xuống AC.
Suy ra $\dfrac{AID}{CID}$ = $\dfrac{AI}{IC}$ = $\dfrac{1}{3}$
=> S $\triangle$ AID =  $\dfrac{1}{3}$`$S_CID$
S $\triangle$ ACD = S $\triangle$ AID + S $\triangle$ CID = $\dfrac{4}{3}$ S $\triangle$ CID
=> 45 = $\dfrac{4}{3}$ S $\triangle$ CID

=> S $\triangle$ CID = 33,75 $cm^2$
c, có $\triangle$ AIB $\backsim$ $\triangle$ CID ( cmt )
=> $\dfrac{IB}{ID}$ = $\dfrac{AB}{CD}$ = $\dfrac{1}{3}$