Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\textbf{a}\bigg)$

$2xy + 6x^2 - y - 3x = 7$

$6x^2 + 2xy - (3x + y) = 7$

$2x(3x + y) - (3x + y) =7$

$(2x - 1)(3x + y) = 7$

Vì $x, y$ nguyên nên $2x - 1$ và $3x + y$ đều là ước của $7$

Lập bảng:

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline\text{$2x-1$}&\text{$1$}&\text{$7$}&\text{$-1$}&\text{$-7$}\\\hline\text{$3x + y$}&\text{$7$}&\text{$1$}&\text{$-7$}&\text{$-1$}\\\hline\text{$x$}&\text{$1$}&\text{$4$}&\text{$0$}&\text{$-3$}\\\hline\text{$y$}&\text{$4$}&\text{$-11$}&\text{$-7$}&\text{$8$}\\\hline\end{array}$

Vậy các cặp $(x; y)$ thoả mãn là $(1; 4), (4; -11), (0; -7)$ và $(-3; 8)$

$\textbf{b}\bigg)$

$4x - xy + y = 7$

$x(4 - y) + y - 4 = 3$

$x(4 - y) - (4 - y) = 3$

$(x - 1)(4 - y) = 3$

Vì $x, y$ nguyên nên $x - 1$ và $4- y$ đều là ước của $3$

Lập bảng:

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline\text{$x - 1$}&\text{$1$}&\text{$3$}&\text{$-1$}&\text{$-3$}\\\hline\text{$4 - y$}&\text{$3$}&\text{$1$}&\text{$-3$}&\text{$-1$}\\\hline\text{$x$}&\text{$2$}&\text{$4$}&\text{$0$}&\text{$-2$}\\\hline\text{$y$}&\text{$1$}&\text{$3$}&\text{$7$}&\text{$5$}\\\hline\end{array}$

Vậy các cặp $(x; y)$ thoả mãn là $(2; 1), (4; 3), (0; 7)$ và $(-2; 5)$

Bài $\textbf{7}:$

$\textbf{a}\bigg)$

$\begin{array}{l} \textbf{P} &= \dfrac{x + 2}{x - 3}
\\ &= \dfrac{x - 3}{x - 3} + \dfrac{5}{x - 3}
\\ &= 1 + \dfrac{5}{x - 3}\end{array}$

Để $\textbf{P}$ có giá trị nguyên lớn nhất thì $\dfrac{5}{x - 3}$ có giá trị nguyên lớn nhất

Suy ra $x - 3$ là ước dương nhỏ nhất của $5$

Do đó $x - 3 = 1$

$x = 4$

Vậy với $x = 4$ thì $\textbf{P}$ có giá trị nguyên lớn nhất là $1 + \dfrac{5}{4 - 3} = 6$

$\textbf{b}\bigg)$

$\begin{array}{l} \textbf{P} &= \dfrac{x + 1}{x - 2}
\\ &= \dfrac{x - 2}{x - 2} + \dfrac{3}{x - 2}
\\ &= 1 + \dfrac{3}{x - 2}\end{array}$

Để $\textbf{P}$ có giá trị nguyên lớn nhất thì $\dfrac{3}{x - 2}$ có giá trị nguyên lớn nhất

Suy ra $x - 2$ là ước dương nhỏ nhất của $3$

Do đó $x - 2 = 1$

$x = 3$

Vậy với $x = 3$ thì $\textbf{P}$ có giá trị nguyên lớn nhất là $1 + \dfrac{3}{3 - 2} = 4$