Giải thích các bước giải:

a.Vì $FN$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to FN\perp ON$

Ta có: $OP\perp EM$

$\to \widehat{FNO}=\widehat{FPO}=90^o$

$\to ONFP$ nội tiếp đường tròn đường kính $OF$

b.Ta có: $MN\perp FN, OP\perp EM$

$\to MO\perp FQ, QO\perp MF$

$\to O$ là trực tâm $\Delta MFQ$

$\to FO\perp MQ$

Xét $\Delta PMO,\Delta PFQ$ có:

$\widehat{MPO}=\widehat{FPQ}(=90^o)$

$\widehat{POM}=90^o-\widehat{PMO}=90^o-\widehat{FMN}=\widehat{MFN}=\widehat{PFQ}$

$\to \Delta PMO\sim\Delta PQF(g.g)$

$\to \dfrac{PM}{PQ}=\dfrac{PO}{PF}$

$\to PM.PF=PO.PQ$

c.Ta có: $MN$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{MEN}=90^o$

$\to NE\perp MF$

$\to \Delta MFN$ vuông tại $N, NE\perp MF$

$\to ME.MF=MN^2=(2R)^2=4R^2$

$\to MF+2ME\ge 2\sqrt{MF.2ME}=2\sqrt2\cdot \sqrt{ME.MF}=2\sqrt2\cdot \sqrt{4R^2}=4\sqrt2R$

Dấu = xảy ra khi $MF=2ME$

$\to 2ME.MF=MF^2$

$\to 2\cdot 4R^2=MF^2$

$\to 8R^2=MF^2$

$\to MF=R\cdot 2\sqrt2$

$\to ME=R\sqrt2$

$\to \Delta EMN$ vuông cân tại $E$

$\to E$ nằm chính giữa cung $MN$