Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\textbf{a}\bigg)$

Ta có:

$\begin{cases} BM + AM = AB \\ CN + AN = AC \\ AB = AC (\triangle ABC\text{ cân tại }A) \\ BM = CN (gt) \end {cases}$

$\Rightarrow AM = AN$

$\Rightarrow \triangle AMN$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{AMN} = \widehat{ANM}$

Mà $\widehat{ANM} + \widehat{AMN} + \widehat{MAN} = 180^\circ$

$\Rightarrow \widehat{AMN} = \widehat{ANM} = \dfrac{180^\circ - \widehat{MAN}}{2}$

Ta có: $\triangle ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{ACB}$

Mà $\Rightarrow \widehat{ABC} + \widehat{ACB} + \widehat{BAC} = 180^\circ$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=  \widehat{ACB} = \dfrac{180^\circ - \widehat{BAC}}{2} = \dfrac{180^\circ - \widehat{MAN}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \widehat{AMN} = \widehat{ANM}$

Mà $\widehat{ABC}$ và $\widehat{AMN}$ nằm ở vị trí đồng vị

$\Rightarrow MN // BC$

$\Rightarrow BMNC$ là hình thang

Mà $\widehat{MBC} = \widehat{NCB} (\triangle ABC$ cân tại $A)$

$\Rightarrow BMNC$ là hình thang cân

$\textbf{b}\bigg)$

Ta có: $\widehat{MBC} = \widehat{NCB} = \dfrac{180^\circ - \widehat{BAC}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{MBC} = \widehat{NCB} = \dfrac{180^\circ - 40^\circ}{2} =70^\circ$

$\Rightarrow \widehat{AMN} =\widehat{ANM} = 70^\circ$

Ta có: 

$\widehat{BMN} + \widehat{AMN} = 180^\circ$

$\Rightarrow \widehat{BMN} + 70^\circ = 180^\circ$

$\Rightarrow \widehat{BMN} = 110^\circ$

Mà $BMNC$ là hình thang cân

$\Rightarrow \widehat{CNM} = \widehat{BMN} = 110^\circ$

$\textbf{c}\bigg)$

Ta có: $MN // BC (cmt)$

$\Rightarrow \widehat{MNB} = \widehat{NBC}(2$ góc so le trong$)$

Xét $\triangle BMN$ có $BM = MN$

$\Rightarrow \triangle BMN$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MBN} = \widehat{MNB}$

$\Rightarrow \widehat{MBN} = \widehat{NBC}$

$\Rightarrow BM$ là phân giác của $\widehat{ABC}$

Ta có: $MN // BC (cmt)$

$\Rightarrow \widehat{NMC} = \widehat{MCB}(2$ góc so le trong$)$

Xét $\triangle CNM$ có $MN = NC$

$\Rightarrow \triangle CNM$ cân tại $N$

$\Rightarrow \widehat{NMC} = \widehat{NCM}$

$\Rightarrow \widehat{MCB} = \widehat{NCM}$

$\Rightarrow CN$ là phân giác của $\widehat{ACB}$

Vậy với $M, N$ lần lượt là chân đường phân giác của $\widehat{ABC}$ và $\widehat{ACB}$ thì $BM = MN = NC$