Giải thích các bước giải:

1.Ta có: $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=15$

                $\Delta ABC$ vuông tại $A, AH\perp BC\to AH.BC=AB.AC\to AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=7.2$

                $BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=5.4$

2.Ta có:

$\Delta AHB$ vuông tại $H, HM\perp AB$

$\to AM.AB=AH^2$

$\Delta AHC$ vuông tại $H, HN\perp AC$

$\to AN.AC=AH^2$

$\to AM.AB=AN.AC$

3.Gọi $AB\cap Ck=D$

Vì $HM\perp AB, HN\perp AC, AB\perp AC$

$\to AMHN$ là hình chữ nhật

Mà $MN//AK, CK//AH$

$\to \widehat{KCA}=\widehat{CAH}=\widehat{HAN}=\widehat{ANM}=\widehat{CAK}\to\Delta KAC$ cân tại $K\to AK=KC$

Ta có:

$AB\perp AC, AD\perp AC$

$\to\widehat{KAD}=90^o-\widehat{KAC}=90^o-\widehat{KCA}=\hat D\to\Delta KAD$ cân tại $K\to AK=KD$

$\to KC=KD$

Mà $AH//CD(\perp BC)$

$\to \dfrac{AI}{KD}=\dfrac{IB}{BK}=\dfrac{IH}{KC}$

$\to IA=IH$

$\to I$ là trung điểm $AH$

Do $AMHN$ là hình chữ nhật

$\to AH\cap MN$ tại trung điểm mỗi đường

$\to I$ là trung điểm $MN$

$\to M, I, N$ thẳng hàng