Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AIM,\Delta AIN$ có:

$\hat M=\hat N(=90^o)$

Chung $AI$

$\widehat{IAM}=\widehat{IAN}$

$\to \Delta AIM=\Delta AIN$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to IM=IN, AM=AN$

Vì $I\in$ trung trực $BC$

$\to IB=IC$

$\to IB^2-IM^2=IC^2-IN^2$

$\to BM^2=CN^2$

$\to BM=NC$

b.Xét $\Delta AMI,|Delta INE$ có:

$AM=AB+BM=CE+CN=NE$

$\widehat{AMI}=\widehat{INE}(=90^o)$

$IM=IN$

$\to \Delta IAM=\Delta IEN(c.g.c)$

$ \to IA=IE$

$\to \Delta IAE$ cân tại $I$

Mà $IN\perp AE$

$\to IN$ là trung trực $AE$

c.Trên $AC$ lấy $D$ sao cho $AB=AD$

Ta có: $AB<AC$

$\to AD<AC$

$\to D$ nằm giữa $A,C$

Xét $\Delta AFB,\Delta AFD$ có;:

Chung $AF$

$\widehat{FAB}=\widehat{FAD}$

$AB=AD$

$\to \Delta AFB=\Delta AFD(c.g.c)$

$\to FB=FD, \widehat{ADF}=\widehat{ABF}$

$\to \widehat{FDC}=180^o-\widehat{ADF}=180^o-\hat B=\hat A+\hat C>\hat C$

$\to FC>DF$

$\to FC>FB$