Đáp án + Giải thích các bước giải:

Bài $\textbf{1}:$

$\textbf{a}.$

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle DBA$, ta có:

$\begin {cases} \widehat{BAC} = \widehat{BDA} (= 90^\circ) \\ \widehat{ABD}\text{ chung} \end {cases}$

$\Rightarrow \triangle ABC \backsim \triangle DBA(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{DB} = \dfrac{BC}{AB}$

$\Rightarrow AB^2= BD \cdot BC$

$\textbf{b}.$

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle DAC$, ta có:

$\begin {cases} \widehat{BAC} = \widehat{DCA} (= 90^\circ) \\ \widehat{ACD}\text{ chung} \end {cases}$

$\Rightarrow \triangle ABC \backsim \triangle DAC (g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{AC}{DC} = \dfrac{BC}{AC}$

$\Rightarrow AC^2 = CD \cdot CB$

$\textbf{c}.$

Ta có:

$\begin {cases} \triangle ABC \backsim \triangle DBA (cmt) \\ \triangle ABC \backsim \triangle DAC (cmt) \end {cases}$

$\Rightarrow \triangle DBA \backsim \triangle DAC$

$\Rightarrow \dfrac{BD}{AD} = \dfrac{AD}{CD}$

$\Rightarrow AD^2 = BD \cdot CD$

$\textbf{d}.$

Ta có: $\triangle ABC \backsim \triangle DAC (cmt) $

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{AC}$

$\Rightarrow AD \cdot BC = AB \cdot AC$

$\textbf{e}.$

Xét $\triangle AHD$ và $\triangle ADB$, ta có:

$\begin {cases} \widehat{HAD}\text{ chung} \\ \widehat{AHD}= \widehat{ADB} (= 90^\circ) \end {cases}$

$\Rightarrow \triangle AHD \backsim \triangle ADB (g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{AH}{AD} = \dfrac{AD}{AB}$

$\Rightarrow AH \cdot AB = AD^2 (1)$

Xét $\triangle AKD$ và $\triangle ADC$, ta có:

$\begin {cases} \widehat{KAD}\text{ chung} \\ \widehat{AKD}= \widehat{ADC} (= 90^\circ) \end {cases}$

$\Rightarrow \triangle AKD \backsim \triangle ADC (g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{AK}{AD} = \dfrac{AD}{AC}$

$\Rightarrow AK \cdot AC = AD^2 (2)$

Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow AH \cdot AB = AK \cdot AC$