Bài toán: Dãy số ngược lý trí

Cho một dãy số vô hạn a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dotsa1​,a2​,a3​,… được định nghĩa như sau:

• a1=1a_1 = 1a1​=1

• Với $n\ge 1$, an+1a_{n+1}an+1​ là số nguyên dương nhỏ nhất chưa xuất hiện trong dãy sao cho:

gcd(an,an+1)=1vaˋan+an+1 laˋ soˆˊ chıˊnh phương\text{gcd}(a_n, a_{n+1}) = 1 \quad \text{và} \quad a_n + a_{n+1} \text{ là số chính phương}gcd(an​,an+1​)=1vaˋan​+an+1​ laˋ soˆˊ chıˊnh phương

Trong đó:

• gcd(x, y) là ước chung lớn nhất của $x$ và $y$

• số chính phương là số có thể viết dưới dạng k2k^2k2, với $k\in \mathbb{N}$

Câu hỏi:

1. Tìm giá trị của a20a_{20}a20​

2. Chứng minh rằng dãy số là dãy vô hạn (tức là luôn tìm được an+1a_{n+1}an+1​ thỏa mãn điều kiện).

3. Liệu dãy có chứa mọi số nguyên dương không?                                                                                có ai làm được bài này không giúp tui với