Đáp án + Giải thích các bước giải:

Đặt $x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x + 1 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$

Đa thức có hệ số tự do là $1$ nên có thể phân tích thành $(x^2 + ax + 1)(x^2 + cx + 1)$

Ta có:

$\begin{array}{l} & x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x + 1 = (x^2 + ax + 1)(x^2 + cx + 1)
\\ &= x^4 + ax^3 + cx^3 + x^2 + acx^2 + x^2 + ax + cx + 1
\\ &= x^4 + (a + c)x^3 + (ac + 2)x^2 + (a + c)x + 1 \end{array}$

Đồng nhất các hệ số bất định, ta được:

$\begin {cases} a + c = 6 \\ ac + 2 = 11 \end {cases}$

$\begin {cases} a + c = 6 \\ ac = 9 \end {cases}$

$a = c = 3$

Vậy $x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2$

$\textbf{2}\bigg)$

Đặt $3x^2 - 22xy - 4x + 8y + 7y^2 + 1 = (ax + by + c)(dx + ey + f)$

Đa thức có hệ số tự do là $1$ nên có thể phân tích thành $(ax + by + 1)(dx + ey + 1)$

Ta có:

$\begin{array}{l} & 3x^2 - 22xy - 4x + 8y + 7y^2 + 1 = (ax + by + 1)(dx + ey + 1)
\\ &= adx^2 + bdxy + aexy + ax + dx + by + ey + bey^2 + 1
\\ &= adx^2 + (ae + bd)xy + (a + d)x + (b + e)y + bey^2 + 1 \end{array}$

Đồng nhất các hệ số bất định, ta có:

$\begin {cases} ad = 3 \\ ae + bd = -22 \\ a + d = -4 \\ b + e = 8 \\ be = 7 \end {cases}$

Xét $b = 1$ và $e = 7$, ta được:

$\begin {cases} ad = 3 \\ 7a + 3d = -22 \\ a + d = -4 \end {cases}$

$\begin {cases} ad = 3 \\ 7a + d = -22 \\ a + d = -4 \end {cases}$

$\begin {cases} a = -3 \\ d = -1 \end {cases}$

Vậy $3x^2 - 22xy - 4x + 8y + 7y^2 + 1 = (-3x + y + 1)(-x + 7y + 1)$