Giải thích các bước giải:

a.Ta có:

$AE$ là phân giác $\widehat{HAC}\to \widehat{EAH}=\widehat{EAC}$

$\widehat{HAB}=90^o-\widehat{HAC}=\hat C$

$\to \widehat{HAB}+\widehat{HAE}=\hat C+\widehat{EAC}$

$\to \widehat{EAB}=\widehat{AEB}$

$\to \Delta ABE$ cân tại $B$

b.Ta có: $BO$ là phân giác $\hat B$

               $\Delta ABE$ cân tại $B$

$\to BO$ là trung trực $AE$

$\to OA=EO$

Tương tự: $CO$ là trung trực $AD$

$\to OA=OD$

$\to OA=OD=OE$

$\to O$ là giao ba đường trung trực $\Delta ADE$

Ta có:

$BO, CO$ là phân giác $\Delta ABC$

$\to O$ là giao ba đường phân giác $\Delta ABC$

$\to AO$ là phân giác $\hat A$

$\to \widehat{OAB}=\widehat{OAC}=\dfrac12\widehat{BAC}=45^o$

Ta có: $OA=OE, AB=BE$

$\to \Delta OAB=\Delta OEB(c.c.c)$

$\to \widehat{OEB}=\widehat{OAB}=45^o$

$\to \widehat{OED}=45^o$

Tương tự: $\widehat{ODE}=45^o$

$\to \Delta ODE$ vuông cân tại $O$

$\to \widehat{DOE}=90^o$

c.Vì $I, J$ là giao ba đường phân giác của $\Delta ABH,\Delta ACH$

$\to I=AD\cap BO, J=AE\cap CO$

Do $BO\perp AE\to IO\perp AJ$

        $CO\perp AD\to JO\perp AI$

$\to O$ là trực tâm $\Delta AIJ$

d.Vì $O$ là trực tâm $\Delta AIJ$

$\to AO\perp IJ$

$\to AO\perp MN$

Mà $AO$ là phân giác $\hat A$

$\to \Delta AMN$ cân tại $A$

Do $\hat A=90^o$

$\to \Delta AMN$ vuông cân tại $A$

$\to \widehat{AMN}=45^o$