Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

`(x^2 + 2y^2 + 5z^2)(1 + 1/2 + 1/5)` `>=` `(x + y + z)^2`

`(x^2 + 2y^2 + 5z^2)(6/5 + 1)` không đúng, mà là

`(x^2 + 2y^2 + 5z^2)(1^2/1 + 1^2/(1/2) + 1^2/(1/5))` `>=` `(x1 + y1 + z*1)^2`

`(x^2 + 2y^2 + 5z^2)(1 + 2 + 5)` `>=` `(x + y + z)^2`

`(x^2 + 2y^2 + 5z^2)(8)` `>=` `1^2 = 1`

`x^2 + 2y^2 + 5z^2` `>=` `1/8`

Vậy `min P = 1/8` khi `x = 1/8 * 8 = 1, y = 1/8 * 4 = 1/2, z = 1/8 * 8/5 = 1/5` không đúng vì `x : y : z = 4 : 2 : 1/5` và `x + y + z = 1` nên `x = 4k, y = 2k, z = k/5` và `4k + 2k + k/5 = 1`

Tìm `k`:

`(20k + 10k + k)/5 = 1`

`31k = 5`

`k = 5/31`

`x = 20/31`

`y = 10/31`

`z = 1/31`

kiểm tra lại

`x : y : z = 4 : 2 : 1/5 = 20 : 10 : 1`

`x = 20/31, y = 10/31, z = 1/31`

`P = (20/31)^2 + 2*(10/31)^2 + 5*(1/31)^2`

`P = 400/961 + 200/961 + 5/961`

`P = 605/961`

Vậy `min P = 1/8` không đúng

Áp dụng Cauchy-Schwarz:

`(x^2 + y^2/2 + z^2/5)(1 + 2 + 5)` `>=` `(x + y + z)^2 = 1`

`x^2 + y^2/2 + z^2/5` `>=` `1/8`

`x^2 + 2y^2 + 5z^2` `>=` `1/8 * 2 = 1/4` không đúng

Vậy `min P = 5/31`

`P = x^2 + 2y^2 + 5z^2`

`P = (20/31)^2 + 2*(10/31)^2 + 5*(1/31)^2`

`P = 400/961 + 200/961 + 5/961`

`P = 605/961`

`Min P = 5/31` đúng vì

`x = 4k`

`y = 2k`

`z = k/5`

`x + y + z = 1`

`31k/5 = 1`

`k = 5/31`

`x = 20/31`

`y = 10/31`

`z = 1/31`

`P = (20/31)^2 + 2*(10/31)^2 + 5*(1/31)^2 = 605/961 = 5/31 * 121/121`

Vậy `min P = 5/31`

`@` Hgg