Đáp án + Giải thích các bước giải:

 $\textbf{a}\bigg)$

$\begin {cases} x^2 - 3xy + y^2 = -1\\ 3x^2 - xy + 3y^2 = -13 \end {cases}$

$\begin {cases} 3x^2 - 9xy + 3y^2 = -3 \\ 3x^2 - xy + 3y^2 = 13 \end {cases}$

$\begin {cases} 3x^2 - 9xy + 3y^2 - 3x^2 + xy - 3y^2 = -16 \\ 3x^2 - xy + 3y^2 = 13 \end {cases}$

$\begin {cases} -8xy = -16 \\ 3x^2 - xy + 3y^2 = 13 \end {cases}$

$\begin {cases} xy = 2 \\ 3x^2 - 2 + 3y^2 = 13 \end {cases}$

$\begin {cases} xy = 2 \\ 3x^2 + 3y^2 = 15 \end {cases}$

$\begin {cases} xy = 2 \\ 3x^2 - 6xy + 3y^2 = 3 \end {cases}$

$\begin {cases} xy = 2 \\ x^2 - 2xy + y^2 = 1 \end {cases}$

$\begin {cases} xy = 2 (*) \\ (x - y)^2 = 1 \end {cases}$

$\textbf{TH}_1: x - y = 1$, suy ra $x = y + 1$

Thay $x = y + 1$ vào $(*)$, ta được:

$y(y + 1) = 2$

$y^2 + y - 2 = 0$

$(y - 1)(y + 2) = 0$

$y = 1$ hoặc $y = -2$

Suy ra $x = 1 + 1 = 2$ hoặc $x = -2 + 1 =- 1$

$\textbf{TH}_2: x - y = -1$, suy ra $x = y - 1$

Thay $y = x + 1$ vào $(*)$, ta được:

$y(y - 1) = 2$

$y^2 - y - 2 = 0$

$(y + 1)(y - 2) = 0$

$y = -1$ hoặc $y = 2$

Suy ra $x = -1 - 1 = -2$ hoặc $x = 2 - 1 = 1$

Vậy hệ phương trình có các nghiệm $(x; y)$ là $(2; 1), (-1; -2), (-2; -1), (1; 2)$

$\textbf{b}\bigg)$

$\begin {cases} x^3 = 2x + y (1) \\ y^3 = 2y + x (2)\end {cases}$

$\begin {cases} x^3 - y^3 = 2x + y - 2y - x \\ y^3 = 2y + x \end {cases}$

$\begin {cases} x^3 - y^3 = x - y\\ y^3 = 2y + x \end {cases}$

$\begin {cases} (x - y)(x^2 + xy +y^2) - (x - y) = 0\\ y^3 = 2y + x \end {cases}$

$\begin {cases} (x - y)(x^2 + xy +y^2 - 1) = 0 \\ y^3 = 2y + x \end {cases}$

$\textbf{TH}_1: x - y = 0$, hay $x = y$

Thay $x = y$ vào $(2)$, ta có:

$x^3 = 2x + x$

$x^3 = 3x$

$x^3- 3x = 0$

$x(x^2 - 3) = 0$

$x = 0$ hoặc $x^2 = 3$

$x = 0$ hoặc $x = \pm \sqrt{3}$

Suy ra $y = 0$ hoặc $y = \pm \sqrt{3}$

$\textbf{TH}_2: x^2 + xy + y^2 - 1 = 0$

$x^2 + xy + y^2 = 1$

Lấy $(1) +(2)$, ta được:

$x^3 + y^3 = 2x + 2y + y + x$

$(x + y)(x^2 - xy + y^2) = 3(x + y)$

$(x + y)(x^2 - xy + y^2 - 3) = 0$

$\textbf{TH}_{2a}: x + y = 0$, suy ra $x = -y$

Thay $x = -y$ vào $(1)$, ta được:

$-y^3 = -2y + y$

$-y^3 = -y$

$y - y^3 = 0$

$y(1 - y^2) = 0$

$y = 0$ hoặc $y^2 = 1$

$y = 0$ hoặc $y = \pm 1$

Suy ra $x = 0$ hoặc $x = \mp 1$

$\textbf{TH}_{2b}: x^2 - xy + y^2 - 3 = 0$

$x^2 -xy + y^2 = 3$

$x^2 - xy + y^2 + x^2 + xy + y^2 = 3 + 1$

$2x^2 + 2y^2 = 4$

$x^2 + y^2 = 2$

$x^2 + y^2 - (x^2 - xy + y^2) = 2 - 3$

$x^2 + y^2 - x^2 + xy - y^2 = -1$

$xy = -1$

$x^2 + 2xy + y^2 = 2 - 2 = 0$

$(x + y)^2 = 0$

$x + y = 0$

Lúc này quay về $\textbf{TH}_{2a}$ để thu được nghiệm $(0; 0), (1; -1)$ và $(-1; 1)$

Vậy hệ phương trình có các nghiệm $(x; y)$ là

$(0; 0), (\sqrt{3}; \sqrt{3}), (-\sqrt{3}; -\sqrt{3}), (1; -1)$ và $(-1; 1)$