Bài 3:

`A = 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^2024`

`=> A vdots 5`

Số số hạng của `A` là:

`(2024 - 1) : 1 + 1 = 2024` (số hạng).

`A = (5 + 5^2 + 5^3 + 5^4) + (5^5 + 5^6 + 5^7 + 5^8) + ... + (5^2021 + 5^2022 + 5^2023 + 5^2024)`

`A = 5(1 + 5 + 5^2 + 5^3) + 5^5(1 + 5 + 5^2 + 5^3) + ... + 5^2021(1 + 5 + 5^2 + 5^3)`

`A = 5(1 + 5 + 25 + 125) + 5^5(1 + 5 + 25 + 125) + ... + 5^2021(1 + 5 + 25 + 125)`

`A = 5 * 156 + 5^5 * 156 + ... + 5^2021 * 156`

`A = 156 * (5 + 5^5 + ... + 5^2021)`

`A = 12 * 13 * (5 + 5^5 + ... + 5^2021)`

Vì `13 vdots 13` nên `A vdots 13`

Mà `ƯCLN(5, 13) = 1`

Vậy `A vdots 5 * 13 = 65`

Bài 4:

Trường hợp 1: `n` là số chẵn

Ta có: `2022` là số chẵn nên `2022^2021` là số chẵn

`=> n + 2022^2021` là tổng của hai số chẵn nên là một số chẵn

`=> (n + 2021^2022)(n + 2022^2021) vdots 2`

Trường hợp 2: `n` là số lẻ

Ta có `2021` là số lẻ nên `2021^2022` là số lẻ

`=> n + 2021^2022` là tổng của hai số lẻ nên là một số chẵn

`=> (n + 2021^2022)(n + 2022^2021) vdots 2`

Vậy ...

Bài 5:

`S = 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^20`

`S = 5 + 5^2 + (5^3 + 5^4 + 5^5) + (5^6 + 5^7 + 5^8) + ... + (5^18 + 5^19 + 5^20)`

`S = 5 + 25 + 5^3(1 + 5 + 5^2) + 5^6(1 + 5 + 5^2) + ... + 5^18(1 + 5 + 5^2)`

`S = 30 + 5^3(1 + 5 + 25) + 5^6(1 + 5 + 25) + ... + 5^18(1 + 5 + 25)`

`S = 30 + 5^3 * 31 + 5^6 * 31 + ... + 5^18 * 31`

`S = 30 + 31 * (5^3 + 5^6 + ... + 5^18)`

Vì `31 * (5^3 + 5^6 + ... + 5^18) vdots 31`

Nên `S = 30 + 31k` `(k = 5^3 + 5^6 + ... + 5^18)`

Vậy `S` chia cho 31 dư 30