Xét hiệu:
$\dfrac{ab+cd}{b^2+d^2} - \dfrac{a}{b}$
$= \dfrac{b(ab+cd) - a(b^2+d^2)}{b(b^2+d^2)}$
$= \dfrac{ab^2+bcd - ab^2-ad^2}{b(b^2+d^2)}$
$= \dfrac{bcd-ad^2}{b(b^2+d^2)}$
$= \dfrac{d(bc-ad)}{b(b^2+d^2)}$
Vì $\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}$ và $b, d > 0$, suy ra $ad < bc$, hay $bc - ad > 0$
Mà $b > 0$, $d > 0$, $b^2+d^2 > 0$, nên $b(b^2+d^2) > 0$.
Do đó, $\dfrac{d(bc-ad)}{b(b^2+d^2)} > 0$.
Vậy $\dfrac{ab+cd}{b^2+d^2} - \dfrac{a}{b} > 0$, suy ra $\dfrac{a}{b} < \dfrac{ab+cd}{b^2+d^2}$ (1)
`->`
Xét hiệu:
$\dfrac{c}{d} - \dfrac{ab+cd}{b^2+d^2}$
$= \dfrac{c(b^2+d^2) - d(ab+cd)}{d(b^2+d^2)}$
$= \dfrac{cb^2+cd^2 - abd-cd^2}{d(b^2+d^2)}$
$= \dfrac{cb^2-abd}{d(b^2+d^2)}$
$= \dfrac{b(bc-ad)}{d(b^2+d^2)}$
Vì $bc - ad > 0$ (cmt)
Mà $b > 0$, $d > 0$, $b^2+d^2 > 0$, nên $d(b^2+d^2) > 0$
Do đó, $\dfrac{b(bc-ad)}{d(b^2+d^2)} > 0$.
Vậy $\dfrac{c}{d} - \dfrac{ab+cd}{b^2+d^2} > 0$, suy ra $\dfrac{ab+cd}{b^2+d^2} < \dfrac{c}{d}$ (2)
`=>`
Từ (1) và (2):
$\dfrac{a}{b} < \dfrac{ab+cd}{b^2+d^2} < \dfrac{c}{d}$