cứuuuuu emmmm vơiisuiiu huhuhuuhuuuhhu

a) 

 Áp dụng định lý Pytago cho $\triangle ABC$ vuông tại A:

    $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 100 \Rightarrow BC = 10$ (cm)

 Ta có:

    $\tan(B) = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} \Rightarrow \hat{B} \approx 53^\circ$

    $\triangle ABC$ vuông tại A $\Rightarrow \hat{C} = 90^\circ - \hat{B} \approx 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$:

    $AH \cdot BC = AB \cdot AC \Rightarrow AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8$ (cm)

b) 

Xét vế trái: $VT = AB \cdot \cos(B) + AC \cdot \cos(C)$

 Trong $\triangle ABC$ vuông tại A, ta có: $\cos(B) = \frac{AB}{BC}$ và $\cos(C) = \frac{AC}{BC}$

 $VT = AB \cdot \frac{AB}{BC} + AC \cdot \frac{AC}{BC} = \frac{AB^2 + AC^2}{BC}$

Vì $AB^2 + AC^2 = BC^2$ (Pytago), nên:

    $VT = \frac{BC^2}{BC} = BC = VP$. (đpcm)

c) 

Trong $\triangle ABC$ vuông tại A, đường cao AH, ta có hệ thức:

    $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2}$ (1)

 Ta có $D \in AC$ và $DC = 2DA \Rightarrow DC = \frac{2}{3}AC$

Xét $\triangle DEC$ và $\triangle ABC$ có:

    $\widehat{DEC} = \widehat{BAC} = 90^\circ$

    $\hat{C}$  góc chung

    $\Rightarrow \triangle DEC \sim \triangle ABC$ (g.g)

 suy ra tỉ số đồng dạng:

    $\frac{DE}{AB} = \frac{DC}{BC} \Rightarrow DE = AB \cdot \frac{DC}{BC} = AB \cdot \frac{\frac{2}{3}AC}{BC} = \frac{2}{3} \cdot \frac{AB \cdot AC}{BC}$

Mà $AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}$, suy ra $DE = \frac{2}{3}AH \Rightarrow AH = \frac{3}{2}DE$

 $AH^2 = \frac{9}{4}DE^2 \Rightarrow \frac{1}{AH^2} = \frac{4}{9DE^2}$ (2)

 Từ (1) và (2) suy ra:

    $\frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{4}{9DE^2}$ (đpcm)