Xét đường tròn tâm $O$ bán kính $R=1$. Lấy các điểm $A, B$ trên đường tròn sao cho $\widehat{xOA} = \alpha$ và $\widehat{AOB} = \beta$

Khi đó, $\widehat{xOB} = \alpha + \beta$

Hạ các đường vuông góc:

   $B H \perp O x$

 $A K \perp O x$

$B M \perp O A$

 $M I \perp O x$

 $M N \perp B H$

Ta có:

$\sin(\alpha + \beta) = \frac{BH}{OB} = \frac{BH}{1} = BH = HN + NB$

    Tứ giác $IKMH$ là hình chữ nhật $\implies HN = IM$

    Xét $\triangle OIM$ vuông tại $I$:

    $IM = OM \cdot \sin\alpha$

    Xét $\triangle OBM$ vuông tại $M$:

    $OM = OB \cdot \cos\beta = 1 \cdot \cos\beta = \cos\beta$

    $\implies HN = \cos\beta \sin\alpha$.

    Ta có $\widehat{NMB} = \widehat{IOM} = \alpha$ (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

    Xét $\triangle NMB$ vuông tại $N$:

    $NB = BM \cdot \cos(\widehat{NMB}) = BM \cdot \cos\alpha$

    Xét $\triangle OBM$ vuông tại $M$:

    $BM = OB \cdot \sin\beta = 1 \cdot \sin\beta = \sin\beta$

    $\implies NB = \sin\beta \cos\alpha$

    $BH = HN + NB = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

Vậy, $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$ (đpcm)