\[
\frac{(x+1)(y+1)^2}{\sqrt[3]{z^2x^2} + 1} + \frac{(y+1)(z+1)^2}{\sqrt[3]{x^2y^2} + 1} + \frac{(z+1)(x+1)^2}{\sqrt[3]{y^2z^2} + 1} \geq x + y + z + 3
\]

Gọi vế trái của bất đẳng thức là $S$. Do $ab + a + b \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2}, \forall a > 0, b > 0$.

Nên  
$S \geq \frac{(x+1)(y+1)^2}{(z+1)(x+1)} + \frac{(y+1)(z+1)^2}{(x+1)(y+1)} + \frac{(z+1)(x+1)^2}{(y+1)(z+1)}$  
$= \frac{(y+1)^2}{z+1} + \frac{(z+1)^2}{x+1} + \frac{(x+1)^2}{y+1}$  

$\geq \frac{[(y+1) + (z+1) + (x+1)]^2}{(z+1) + (x+1) + (y+1)} = x + y + z + 3$ (điều phải chứng minh)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 1$.


#Tuikotenll