a) Ta có $\frac{a}{(a+1)(b+1)} + \frac{b}{(b+1)(c+1)} + \frac{c}{(c+1)(a+1)} \ge \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow 4a(c+1) + 4b(a+1) + 4c(b+1) \ge 3(a+1)(b+1)(c+1)$

$\Leftrightarrow 4(ab + bc + ca) + 4(a+b+c) \ge 3abc + 3 + 3(ab+bc+ca) + 3(a+b+c)$

$\Leftrightarrow ab + bc + ca + a + b + c \ge 6$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta được:

$ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{ab \cdot bc \cdot ca} = 3$

$a + b + c \ge 3\sqrt[3]{abc} = 3$

Cộng từng vế hai bất đẳng thức trên ta được $ab + bc + ca + a + b + c \ge 6$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 1$. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

b) Điều kiện xác định $x \ge 2$. Đặt $t = \sqrt{x-2}$, $t \ge 0$ suy ra $x = t^2 + 2$, thay vào bất phương trình ta được:

$\sqrt[3]{1 - t^2} \ge 1 - t \Leftrightarrow 1 - t^2 \ge (1-t)^3$

$\Leftrightarrow t^3 - 4t^2 + 3t \ge 0 \Leftrightarrow t(t-1)(t-3) \ge 0$

$\Rightarrow \begin{cases} t \ge 3 \\ 0 \le t \le 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{x-2} \ge 3 \\ 0 \le \sqrt{x-2} \le 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 11 \\ 2 \le x \le 3 \end{cases}$

Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm là $S = [2;3] \cup [11; +\infty)$.


#Tuikotenll