`#hakari`

Điều kiện: $sinx>0$ 

Theo bài ra ta có:

`ln(1/(2sinx))+(sqrt(2-2cos2x))/2=(2tan^2x)/(tan^2x+1)` 

`ln(1/(2sinx))+(sqrt(2-2cos2x))/2=2-2/(tan^2x+1)` 

`ln(1/(2sinx))+(sqrt(2-2cos2x))/2=2-2cos^2x` 

`ln(1/(2sinx))+(sqrt(2-2cos2x))/2=2sin^2x` 

`ln(1/(2sinx))+(sqrt(4sin^2x))/2=2sin^2x` 

`-ln(2sinx)+sinx=2sin^2x`

`ln(2sinx)=sinx-2sin^2x`

Đặt $sinx=b$ ta có:

`ln(2b)=b-2b^2`

`ln(2b)-b+2b^2=0`

Xét hàm số $y=ln(2b)-b+2b^2$ ta có:

$y'=\dfrac{1}{b}-1+4b$

Xét với $b$ trong $(0;1]$ thì $y'>0$ với $∀b∈(0;1]$ nên hàm số đồng biến trên $(0;1].$ Vì vậy hàm trên chỉ có một nghiệm $b$ duy nhất.

Xét hai hàm $f(b)=ln(2b)$ và $g(b)=b-2b^2$

Ta có:

$-1≤g(b)≤\dfrac{1}{8}$

Mà $f(b)=g(b)⇒-1≤f(b)≤\dfrac{1}{8}$

$⇒\dfrac{1}{2e}≤b<\dfrac{e^{\dfrac{1}{8}}}{2}$

Xét $\dfrac{1}{2e}≤b<\dfrac{e^{\dfrac{1}{8}}}{2}$ cho $g(b)$ ta được:

$-0,07543848181<g(b)≤0,116272079$

$⇒-0,07543848181<f(b)≤0,116272079$

$⇒0,4636683884<b≤0,5616507286$

Thay lại vào $g(b)$ ta được:

$-0,06925235333<g(b)≤0,0336916396$

Lặp lại các bước giá trị của $g(b)→0$ nên nghiệm của $y$ cũng sẽ là nghiệm của $f(b)$ và $g(b).$

Nên $b=sinx=\dfrac{1}{2}.$

Vì $a$ là nghiệm thực dương nhỏ nhất nên $a=\dfrac{π}{6}.$

Nên $T=12096π.\dfrac{π}{6}=2016π^2.$

Đáp án: $2016π^2.$