$$\begin{cases}u_1 + u_2 + u_3 + u_4 = 15 \\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85\end{cases}$$

$$\begin{cases}u_1(1 + q + q^2 + q^3) = 15 \quad (1) \\u_1^2(1 + q^2 + q^4 + q^6) = 85 \quad (2)\end{cases}$$

 $q=1$, hệ trở thành:

$$\begin{cases}4u_1 = 15 \\4u_1^2 = 85\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}u_1 = \frac{15}{4} \\u_1^2 = \frac{85}{4}\end{cases}$$

 thấy $(\frac{15}{4})^2 = \frac{225}{16} \neq \frac{85}{4}$. Vậy $q=1$ không phải là nghiệm

$$\frac{u_1^2(1 + q + q^2 + q^3)^2}{u_1^2(1 + q^2 + q^4 + q^6)} = \frac{15^2}{85}$$

$$\frac{(1 + q + q^2 + q^3)^2}{1 + q^2 + q^4 + q^6} = \frac{225}{85} = \frac{45}{17}$$

$1 + q + q^2 + q^3 = (1+q) + q^2(1+q) = (1+q)(1+q^2)$

$1 + q^2 + q^4 + q^6 = (1+q^2) + q^4(1+q^2) = (1+q^2)(1+q^4)$

$$\frac{[(1+q)(1+q^2)]^2}{(1+q^2)(1+q^4)} = \frac{(1+q)^2(1+q^2)}{1+q^4} = \frac{45}{17}$$

$$17(1+2q+q^2)(1+q^2) = 45(1+q^4)$$

$$17(1+q^2+2q+2q^3+q^2+q^4) = 45+45q^4$$

$$17(q^4+2q^3+2q^2+2q+1) = 45+45q^4$$

$$17q^4+34q^3+34q^2+34q+17 = 45+45q^4$$

$$28q^4 - 34q^3 - 34q^2 - 34q + 28 = 0$$

$$28q^2 - 34q - 34 - \frac{34}{q} + \frac{28}{q^2} = 0$$

$$28(q^2 + \frac{1}{q^2}) - 34(q + \frac{1}{q}) - 34 = 0$$

Đặt $t = q + \frac{1}{q}$, suy ra $q^2 + \frac{1}{q^2} = t^2 - 2$. Pt trở thành:

$$28(t^2 - 2) - 34t - 34 = 0$$

$$28t^2 - 34t - 90 = 0 \Leftrightarrow 14t^2 - 17t - 45 = 0$$

Hptb2â $t$, ta được $t = \frac{5}{2}$ hoặc $t = -\frac{9}{7}$

TH1:  $t = \frac{5}{2} \Rightarrow q + \frac{1}{q} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2q^2 - 5q + 2 = 0$

    Giải ra  được $q=2$ hoặc $q=\frac{1}{2}$

     Với $q=2$, thay vào (1): $u_1(1+2+4+8) = 15 \Rightarrow 15u_1 = 15 \Rightarrow u_1 = 1$

    Với $q=\frac{1}{2}$, thay vào (1): $u_1(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}) = 15 \Rightarrow \frac{15}{8}u_1 = 15 \Rightarrow u_1 = 8$

TH2: $t = -\frac{9}{7} \Rightarrow q + \frac{1}{q} = -\frac{9}{7} \Rightarrow 7q^2 + 9q + 7 = 0$

    $\Delta = 9^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 81 - 196 < 0$, nên vô nghiệm thực

Vậy

có hai cặp nghiệm thỏa mãn:

1. $u_1 = 1$ và $q = 2$.

2. $u_1 = 8$ và $q = \frac{1}{2}$.