a) 

Ta có:

$$ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 $$

$$ \Leftrightarrow \frac{a^2 + b^2}{ab} \ge 2 $$

Vì $a>0, b>0$ nên $ab>0$.

$$ \Leftrightarrow a^2 + b^2 \ge 2ab $$

$$ \Leftrightarrow a^2 - 2ab + b^2 \ge 0 $$

$$ \Leftrightarrow (a-b)^2 \ge 0 $$

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi $a, b$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b$.

b) 

Xét hiệu:

$$ H = \frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} = \frac{b(a+c) - a(b+c)}{b(b+c)} = \frac{ab+bc-ab-ac}{b(b+c)} = \frac{c(b-a)}{b(b+c)} $$

Theo gt:

 $0 < a < b \Rightarrow b-a > 0$.

 $c < 0$.

 $\Rightarrow$ Tử số: $c(b-a) < 0$.

Theo gt và đk bổ sung:

 $b > 0$.

 $b+c < 0$.

 $\Rightarrow$ Mẫu số: $b(b+c) < 0$.

$$ \Rightarrow \frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} > 0 \Leftrightarrow \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+c} \quad (\text{đpcm}) $$

c) 

Xét hiệu:

$$ \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a-b}{ab} $$

Vì $a>b>0$, ta có:

 $a-b > 0$.

 $ab > 0$.

Do đó, $\frac{a-b}{ab} > 0$.

$$ \Rightarrow \frac{1}{b} - \frac{1}{a} > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b} \quad (\text{đpcm}) $$

d) 

Ta có:

$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b} $$

$$ \Leftrightarrow \frac{a+b}{ab} \ge \frac{4}{a+b} $$

Vì $a>0, b>0$ nên $a+b>0$ và $ab>0$.

$$ \Leftrightarrow (a+b)^2 \ge 4ab $$

$$ \Leftrightarrow a^2 + 2ab + b^2 \ge 4ab $$

$$ \Leftrightarrow a^2 - 2ab + b^2 \ge 0 $$

$$ \Leftrightarrow (a-b)^2 \ge 0 $$

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi $a, b$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b$.