Ta có:

$B = -x^2 - y^2 + xy + 2x + 2y$

$\implies -2B = 2x^2 + 2y^2 - 2xy - 4x - 4y$

$\iff -2B = (x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) - 8$

$\iff -2B = (x - y)^2 + (x - 2)^2 + (y - 2)^2 - 8$

$\iff B = 4 - \frac{1}{2} \left[ (x - y)^2 + (x - 2)^2 + (y - 2)^2 \right]$

Vì $(x - y)^2 \ge 0$; $(x - 2)^2 \ge 0$; $(y - 2)^2 \ge 0$ với mọi $x, y \in \mathbb{R}$.

Nên $\frac{1}{2} \left[ (x - y)^2 + (x - 2)^2 + (y - 2)^2 \right] \ge 0$.

Suy ra $B \le 4$.

Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases} x - y = 0 \\ x - 2 = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases} \iff x = y = 2$.

Vậy giá trị lớn nhất của $B$ là $4$ tại $x = y = 2$.