Hệ
$\begin{cases} 2x - my = 1 \quad (1) \\ x - (m-1)y = 4 \quad (2) \end{cases}$
Từ $(2)$, ta có $x = 4 + (m-1)y$. Thay vào $(1)$:
$2(4 + (m-1)y) - my = 1$
$\Leftrightarrow 8 + 2(m-1)y - my = 1$
$\Leftrightarrow 8 + (2m - 2 - m)y = 1$
$\Leftrightarrow 8 + (m-2)y = 1$
$\Leftrightarrow (m-2)y = -7$
Hệ có no duy nhất khi và chỉ khi $m-2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2$.
Khi đó $y = \dfrac{-7}{m-2}$.
Để $y$ là số nguyên thì $m-2$ phải là ước của $-7$
Ước của $-7$ là $\{\pm 1; \pm 7\}$.

`->`
Trường hợp 1: $m-2 = 1 \Leftrightarrow m = 3$.
$y = \dfrac{-7}{1} = -7$.
$x = 4 + (3-1)(-7) = 4 + 2(-7) = 4 - 14 = -10$.
$(x;y) = (-10;-7)$ là các số nguyên. $m=3$ tm

`->`
Trường hợp 2: $m-2 = -1 \Leftrightarrow m = 1$.
$y = \dfrac{-7}{-1} = 7$.
$x = 4 + (1-1)(7) = 4 + 0 = 4$.
$(x;y) = (4;7)$ là các số nguyên. $m=1$ tm

`->`
Trường hợp 3: $m-2 = 7 \Leftrightarrow m = 9$.
$y = \dfrac{-7}{7} = -1$.
$x = 4 + (9-1)(-1) = 4 + 8(-1) = 4 - 8 = -4$.
$(x;y) = (-4;-1)$ là các số nguyên. $m=9$ tm

`->`
Trường hợp 4: $m-2 = -7 \Leftrightarrow m = -5$.
$y = \dfrac{-7}{-7} = 1$.
$x = 4 + (-5-1).(1) = 4 + (-6)(1) = 4 - 6 = -2$.
$(x;y) = (-2;1)$ là các số nguyên. $m=-5$ tm
Vậy các số nguyên là $m \in \{3; 1; 9; -5\}$ thì hệ có no duy nhất là các số nguyên