Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\textbf{a}\bigg)$

Xét $\triangle SHB$ vuông tại $S$, ta có:

$SH^2 +SB^2 = HB^2($định lý Pythagore$)$

$\Rightarrow 21^2 + SB^2 = 35^2$

$\Rightarrow SB^2 = 35^2 - 21^2 = 784$

$\Rightarrow SB = 28(cm)$

$\Rightarrow \cos \widehat{SBH} = \dfrac{28}{35} = \dfrac{4}{5}$

Mà $\cos \widehat{SBC} = \cos \widehat{SBH}$

$\Rightarrow \dfrac{BC}{SB} = \dfrac{4}{5}$

$\Rightarrow BC = \dfrac{4}{5}SB = \dfrac{112}{5}(cm)$

$\textbf{b}\bigg)$

Xét $\triangle SCH$ vuông tại $C$, ta có:

$\cos \widehat{HSC} = \dfrac{SC}{SH}$

Xét $\triangle SCT$ vuông tại $T$, ta có:

$\cos \widehat{TSC} = \dfrac{ST}{SC}$

$\Rightarrow \dfrac{SC}{SH} = \dfrac{ST}{SC}$

$\Rightarrow SC^2 = SH \cdot ST (1)$

Xét $\triangle SCB$ vuông tại $C$, ta có:

$\cos \widehat{BSC} = \dfrac{SC}{SB}$

Xét $\triangle SCV$ vuông tại $V$, ta có:

$\cos \widehat{VSC} = \dfrac{SV}{SC}$

$\Rightarrow \dfrac{SC}{SB} = \dfrac{SV}{SC}$

$\Rightarrow SC^2 = SB \cdot SV (2)$

Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow ST \cdot SH = SV \cdot SB$

$\textbf{c}\bigg)$

Gọi $K$ là giao điểm của $TV$ và $SC$

Xét tứ giác $STCV$, ta có:

$\begin {cases} ST // CV (\text{cùng vuông góc với }SB) \\ SV // TC (\text{cùng vuông góc với }SH) \end {cases}$

$\Rightarrow STCV$ là hình bình hành

Mà $\widehat{TSV} = 90^\circ$

$\Rightarrow STCV$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \begin {cases} K\text{ là trung điểm của }SC\text{ và }TV \\ SC = TV \end {cases}$

$\Rightarrow KS = KT$

$\Rightarrow \triangle KST$ cân tại $K$

$\Rightarrow \widehat{KTS} = \widehat{KST}$

Ta có:

$\begin {cases} \widehat{KTS} + \widehat{HSM} = 90^\circ \\ \widehat{KST} + \widehat{SHC} = 90^\circ \\ \widehat{KTS} = \widehat{KST} (cmt)\end {cases}$

$\Rightarrow \widehat{SHC} = \widehat{HSM} = x$

Xét $\triangle THC$ vuông tại $T$, ta có:

$\cos \widehat{THC} = \dfrac{HT}{HC}$

$\Rightarrow \cos x = \dfrac{HT}{HC}$

Xét $\triangle SHC$ vuông tại $C$, ta có:

$\cos \widehat{SHC} = \dfrac{HC}{HS}$

$\Rightarrow \cos x = \dfrac{HC}{HS}$

Xét $\triangle SHB$ vuông tại $S$, ta có:

$\cos \widehat{SHB} = \dfrac{HS}{HB}$

$\Rightarrow \cos x = \dfrac{HS}{HB}$

$\Rightarrow \cos x \cdot \cos x \cdot \cos x = \dfrac{HT}{HC} \cdot \dfrac{HC}{HS} \cdot \dfrac{HS}{HB}$

$\Rightarrow \cos^3 x = \dfrac{HT}{HB}$

$\Rightarrow HT = HB \cos^3 x$