Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l} \textbf{P} &= \dfrac{2a}{\sqrt{1 + a^2}} + \dfrac{b}{\sqrt{1 + b^2}} + \dfrac{c}{\sqrt{1 + c^2}}
\\ &= \dfrac{2a}{\sqrt{a^2 + ab + bc + ca}} + \dfrac{b}{\sqrt{b^2 + ab + bc + ca}} + \dfrac{c}{\sqrt{c^2 + ab + bc + ca}}
\\ &= \dfrac{2a}{\sqrt{(a + b)(a + c)}} + \dfrac{2b}{\sqrt{4(b + a)(b + c)}} + \dfrac{2c}{\sqrt{4(c + a)(b + c)}}\end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức $\textbf{AM-GM}$, ta có:

$\dfrac{2a}{\sqrt{(a + b)(a + c)}} \le  \dfrac{a}{a + b} + \dfrac{a}{a + c}$

$\dfrac{2b}{\sqrt{4(b + a)(b + c)}} \le  \dfrac{b}{b + a} + \dfrac{b}{4(b + c)}$

$\dfrac{2c}{\sqrt{4(c + a)(b + c)}} \le \dfrac{c}{c + a} + \dfrac{c}{4(b + c)}$

Cộng các bất đẳng thức cùng chiều, ta được:

$\begin{array}{l} &\textbf{P} \le \dfrac{a}{a + b} + \dfrac{a}{a + c} + \dfrac{b}{b +a} + \dfrac{b}{4(b + c)} + \dfrac{c}{c + a} + \dfrac{c}{4(b + c)}
\\ &\textbf{P} \le \dfrac{a + b}{a + b} + \dfrac{a + c}{a + c} + \dfrac{b + c}{4(b + c)}
\\ &\textbf{P} \le 1 + 1 + \dfrac{1}{4} =\dfrac{9}{4}\end{array}$

Dấu $=$ xảy ra khi $\begin {cases} \dfrac{a}{a + b} = \dfrac{a}{a + c} \\ \dfrac{b}{b +a} = \dfrac{b}{4(b + c)} \\ \dfrac{c}{c + a} = \dfrac{c}{4(b + c)}\end {cases}$

$\begin {cases} a + b = a + c \\ b + a = 4(b + c) \\ c + a = 4(b + c)\end {cases}$

$\begin {cases} b = c \\ b + a = 8b \\ c + a = 8c \end {cases}$

$a = 7b = 7c$

Lúc này $ab + bc + ca = 7b^2 + b^2 + 7b^2 = 15b^2 = 1$, hay $b = c = \dfrac{\sqrt{15}}{15}$

$a = \dfrac{7\sqrt{15}}{15}$

Vậy GTLN của $\textbf{P}$ là $\dfrac{9}{4}$ khi $a = \dfrac{7\sqrt{15}}{15}$ và $b = c = \dfrac{\sqrt{15}}{15}$